Physics problems for exams at Greek universities

Κάποια στιγμή t 1 δύο σημεία Α και Β ενός ελεύθερα σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινούμενου λεπτού ομογενούς δίσκου μάζας m = 1 kg και ακτίνας R = 0,4 m , έχουν ταχύτητες υ 1 και υ 2 , αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 30 ο και 60 ο , αντίστοιχα,   με το ευθύγραμμο τμήμα AB που τα συνδέει. Η ταχύτητα υ cm του κέντρου μάζας του δίσκου έχει διεύθυνση κάθετη στο ΑΒ. Α. Η κίνηση του δίσκου μπορεί να είναι: α. μεταφορική,    β. στροφική γύρω από το κέντρο μάζας του,  γ. μεταφορική και στροφική γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του.                                     Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Β. Αν ΑΒ = CA = CB = d = 0,3 m και υ 1 = 0,6 m / s , να υπολογίσετε : 2α. Την ταχύτητα του κέντρου μάζας και τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου. 2β. Τ...

Ένας συμπαγής ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένος πάνω σε μια οριζόντια ορθογώνια πλατφόρμα ίσης μάζας Μ και μεγάλου μήκους, που μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ο δίσκος δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη F = 40 Ν και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην πλατφόρμα. Να βρείτε: α. Πόσο αυξάνεται η κινητική ενέργεια της πλατφόρμας όταν αυτή μετατοπίζεται κατά D =   1 m . β. Την αντίστοιχη αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω μεταφορικής κίνησης. γ. Την αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω στροφικής κίνησης. Δίνεται για τον δίσκο Ι c = (1/2)Μ R 2 . Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

Ένας ομογενής κυκλικός δίσκος έχει ακτίνα R και μάζα m. Ένα σωματίδιο, επίσης μάζας m , είναι στερεωμένο στο σημείο Σ στην άκρη του δίσκου όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δίσκος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον σταθερό οριζόντιο άξονα ΡΡ΄, πάνω στον οποίο βρίσκεται η χορδή ΑΒ που απέχει R / 4 από το κέντρο Κ του δίσκου και είναι κάθετη στην προέκταση της ακτίνας ΣΚ. Αρχικά, ο δίσκος κρατείται κατακόρυφα με το σωματίδιο στο σημείο Σ στην υψηλότερη θέση του. Στη συνέχεια αφήνεται να πέσει, έτσι ώστε να αρχίσει να περιστρέφεται γύρω από το n ν άξονα PΡ΄.  Βρείτε τη γραμμική ταχύτητα του σωματιδίου καθώς φθάνει στη χαμηλότερη θέση του. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου ως προς άξονα που βρίσκεται στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του είναι I = mR 2 /4.  Απάντηση σε pdf   Απάντηση σε word:

[Εδώ, μια ράβδος στρέφεται γύρω από άξονα που δεν διέρχεται από το φορέα της] Θεωρείστε ένα κοίλο  κύλινδρο  σταθερό σε οριζόντιο επίπεδο, με λεία εσωτερική επιφάνεια ακτίνας      R = 5 m και μια ομογενή ράβδο μάζας M και μήκους L = 8 m, που συγκρατείται αρχικά σε κατακόρυφη θέση όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή η ράβδος αφήνεται από τη θέση αυτή    και αρχίζει να γλιστράει μέσα στον κύλινδρο με τα άκρα της διαρκώς σε επαφή με τα εσωτερικά τοιχώματά του. Θεωρείστε ότι κατά την πτώση της η ράβδος βρίσκεται διαρκώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και    ότι η κίνησή της είναι καθαρά στροφική γύρω από τον άξονα του κυλίνδρου που διέρχεται από το O. Υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου τη στιγμή που γίνεται οριζόντια. Δίνεται για   τη ράβδο η ροπή αδράνειας Ι c . m = (1/12) ML 2 . Θεωρείστε, για ευκολία, ότι g = 86/9 m / s 2 . Απ.  2r/s Λύση σε pdf:    Λύση σε word:

[Εφαρμογή της Α.Δ.Ε όταν ο κουβάς αφήνεται ελεύθερος να κατέβει.] Χρησιμοποιήστε την αρχή διατήρησης της ενέργειας   για να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας που φαίνεται στο σχήμα, τη στιγμή που ο κάδος μάζας m = 3 kg έχει κατέλθει κατά h = 3 m, ξεκινώντας από την ηρεμία. Θεωρείστε αμελητέα τη μάζα του σχοινιού που είναι προσαρτημένο στον κάδο και τυλιγμένο πολλές φορές γύρω από την τροχαλία και ότι δεν γλιστρά καθώς ξετυλίγεται. Η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς τριβές. Δίνεται η μάζα Μ = 4 kg , η ακτίνα R = 0,6 m και η ροπή αδράνειας I = MR 2 /2 της   τροχαλίας καθώς και ότι η επιτάχυνση βαρύτητας ισούται με g = 10 m / s 2 .  Απάντηση:

1. Κύβος και όρθιος κύλινδρος σε ένα αγώνα δρόμου Πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια, τοποθετούμε δύο στερεά, ένα κύλινδρο και ένα κύβο με ίσες μάζες. Τα δύο στερεά τοποθετούνται, όπως φαίνεται στο πλαϊνό σχήμα, μπροστά από τη γραμμή ε 1 . Στο κέντρο του κύβου δένουμε ένα αβαρές σχοινί, ενώ ένα άλλο το τυλίγουμε σφικτά γύρω από τον κύλινδρο, έτσι ώστε να μην γλιστρά στην  περιφέρειά του. Ασκούμε στα ελευθέρα άκρα των δύο σχοινιών δύο ίσες οριζόντιες δυνάμεις, με διεύθυνση κάθετη στην γραμμή ε 1 . Το στερεό που θα φτάσει πρώτο στη γραμμή ε 2 (που είναι παράλληλη στην ε 1 ), είναι:        α. Ο κύλινδρος,          β. Ο κύβος,          γ.   Κανένα, θα φτάσουν και τα δύο μαζί.

Η πρόσφατη κατασκευή G 2 της NASA περιλαμβάνει ένα σφόνδυλο, που χρησιμοποιείται ως συσσωρευτής κινητικής ενέργειας και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Σχήμα : συμπαγής κύλινδρος με στρώσεις ανθρακονημάτων και τιτανίου. Διάμετρος: 30 cm Ύψος: 76  cm , Μέση πυκνότητα υλικού: 400 kg / m 3 (ανθρακονήματα -τιτάνιο) Μέγιστη ενέργεια: 525 Wh , Μέγιστη ισχύς: 1 kW , Θεωρώντας τις απώλειες λόγω τριβών αμελητέες, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Ποια είναι η μάζα Μ του σφονδύλου; β. Ποια είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει ο σφόνδυλος; γ. Για πόσο χρόνο μπορεί ο παραπάνω σφόνδυλος, φορτισμένος με τη μέγιστη ενέργεια, να παρέχει μέγιστη ισχύ, πριν να χρειαστεί επαναφόρτιση; δ. Ποια είναι η μέση γωνιακή επιτάχυνση του σφονδύλου στη διάρκεια εκφόρτισής του; Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι cm =   Μ R 2 /2.  Απάντηση:

Ο σφόνδυλος είναι μια μάζα, περιστρεφόμενη γύρω από ακλόνητο άξονα, η οποία  μπορεί να αποθηκεύσει ενέργεια με μηχανικό τρόπο, υπό τη μορφή κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής.  Σήμερα, συνδυάζεται με μια ηλεκτρική συσκευή, που μπορεί να λειτουργεί άλλοτε ως κινητήρας και άλλοτε ως γεννήτρια. Όταν η ηλεκτρική συσκευή λειτουργεί ως κινητήρας, θέτει σε περιστροφή τον σφόνδυλο και όσο πιο γρήγορα περιστρέφεται αυτός, τόσο περισσότερη ενέργεια αποθηκεύει. Ο σφόνδυλος, δηλαδή, λειτουργεί ως μια μηχανική μπαταρία. Όταν υπάρχει ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας, τότε η αποθηκευμένη μηχανική ενέργεια μετατρέπεται ξανά σε ηλεκτρική, μέσω της ηλεκτρικής συσκευής, η οποία αυτή τη φορά λειτουργεί ως γεννήτρια που παράγει ηλεκτρική ισχύ. Για τη μείωση των ενεργειακών απωλειών τα άκρα του άξονα περιστροφής στερεώνονται ακλόνητα σε μαγνητικά στηρίγματα και ο όλος μηχανισμός (σφόνδυλος και ηλεκτρική  συσκευή) τοποθετείται μέσα σε ένα θάλαμο υπό κενό. Έτσι η ενεργειακή απόδοση της διάταξης μπο...

Το σύστημα “ράβδος – σφαιρίδιο Σ 1 ” του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, κάθετο στο άκρο Ο της ράβδου. Η μάζα του Σ 1 είναι ίση με τα 2/3 της μάζας Μ της ράβδου, ενώ του Σ 2 είναι τετραπλάσια της μάζας της ράβδου. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα από την οριζόντια θέση. Όταν φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ 2 και ακινητοποιείται, ενώ το Σ 2 , δεμένο στην άκρη ενός σχοινιού μήκους L /2,, αρχίζει να εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, με κέντρο το ακλόνητο άλλο άκρο του σχοινιού. α. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. β. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο Σ 2 δεν θα μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση. γ. Να προσδιορίσετε τη θέση όπου διακόπτεται η κυκλική κίνηση. δ. Να βρείτε τη γραμμική επιτάχυνση, τη γωνιακή επιτάχυνση και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του Σ 2 , στην παραπάνω θέση.   Δίνονται: για τη ράβδο M = 1 kg , Ι cm = (1/12) ML 2 και το μήκος της   L = 2 m , καθώς και η επιτάχυνσ...

Η κινητική ενέργεια του συστήματος «αβαρής ράβδος – σφαιρίδια», που κινείται με ταχύτητα 5 m / s και εκτελεί 1 περιστροφή το δευτερόλεπτο γύρω από το κέντρο μάζας του, είναι:    α. 650 J ,          β. 316,67 J ,         γ.   350 J Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε. Απάντηση:

Τρεις παρόμοιοι συμπαγείς και ομογενείς κύλινδροι και ένα αβαρές σχοινί αποτελούν το σύστημα του σχήματος. Όταν κύλινδρος 3 κατεβαίνει, ο 1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού και το σχοινί, χωρίς να ολισθαίνει, θέτει σε περιστροφή τον κύλινδρο 2.   Αρχικά το σύστημα ηρεμεί. Με ποια ταχύτητα θα φτάσει ο κύλινδρος 3 στο έδαφος; Θεωρείστε τη μάζα των συνδέσμων των κυλίνδρων 1 και3 με το σχοινί αμελητέα. Δίνεται για τους κυλίνδρους Ι cm = MR 2 /2   και η επιτάχυνση βαρύτητας g .  Πηγή : Giancoli, Physique mécanique, CEC, 1993, P 298 Απάντηση:

Στο σχήμα φαίνονται, κάποια χρονική στιγμή t 1 , οι ταχύτητες των άκρων μιας ομογενούς ράβδου η οποία κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το μήκος της ράβδου είναι 1 m και η μάζα της 3 kg . Να βρείτε: α. Την κινητική ενέργεια της ράβδου β. Την ιδιοστροφορμή (σπιν) της ράβδου Δίνεται για τη ράβδο:   Ι cm = mL 2 /12 Απάντηση:

Μια σφαίρα, μάζας m = 1 kg και ακτίνας r = 0,1 m συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερη (χωρίς να την σπρώξουμε). α. Η σφαίρα κυλίεται στο κοίλο ημισφαιρικό δοχείο, ακτίνας R = 1,1 m , του σχήματος χωρίς να ολισθαίνει. Με πόση ταχύτητα διέρχεται από το χαμηλότερο σημείο Β του δοχείου; β. Αν στη συνέχεια (μετά το σημείο Β) η εσωτερική επιφάνεια του δοχείου είναι λεία, να εξετάσετε, χωρίς υπολογισμούς: i .   αν η σφαίρα θα φτάσει (κινούμενη στο λείο τμήμα του δοχείου) σε ύψος ίσο με εκείνο από το οποίο ξεκίνησε, ii . αν, μετά την επιστροφή της στο σημείο Β, η σφαίρα θα επανέλθει στη θέση απ’ όπου την αφήσαμε. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι cm = 4 · 10 -3 kg · m 2 και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m / s 2 . Απάντηση:

  Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz ΄. Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg , φέρει οπή κατά μήκος   του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ. Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ = 3/8 m από το Β. α. Να βρείτε τη στροφορμή του σώματος Σ ως προς τον άξονα zz ΄. Δίνεται συνθ = 0,6. β. Διπλασιάζουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα σταθεροποιηθεί σε μια θέση,   όπου η κινητική του ενέργεια είναι τέσσερις φορές μικρότερη από την αρχική. Οι διαστάσεις   το κυλινδρικού σώματος να θεωρηθούν αμελητέες. Απάντηση:

      Ο τροχός του σχήματος είναι ομογενής, έχει μάζα m = 50 kg και ακτίνα R = 100 mm .   Στην περιφέρειά του υπάρχει εγκοπή βάθους h = 40 mm , μέσα στην οποία είναι τυλιγμένο αβαρές λεπτό νήμα μεγάλου μήκους. Τη στιγμή t = 0, στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε σταθερή δύναμη F με διεύθυνση παράλληλη προς το οριζόντιο επίπεδο, με τη βοήθεια της οποίας ο τροχός τίθεται σε κίνηση χωρίς το νήμα να γλιστράει στο αυλάκι. Α. Αν ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μ s είναι 0,2 να εξετάσετε αν ο τροχός θα κυλίσει χωρίς ολίσθηση. Β. Να υπολογίσετε τη επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού και τη γωνιακή του επιτάχυνση.  Γ. Τη στιγμή t 1 η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίση με 20 m / s . Πόση είναι τότε η στροφορμή του τροχού ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο του; Δ. Να παρασταθεί γραφικά σε κατάλληλα αριθμημένους άξονες η συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t 1 . Τι παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της καμπύλης...

Δύο στερεά σώματα π εριστρέφονται ... 9.  Δύο στερεά σώματα περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες ως προς τους οποίους έχουν ίσες στροφορμές   L 1  και  L 2 ,   ενώ οι ροπές αδράνειάς τους συνδέονται με τη σχέση:  Ι 2 = 2Ι 1 . Α.   Με ποια από τις παρακάτω σχέσεις συνδέονται οι κινητικές τους ενέργειες;     α.   Κ 2 = Κ 1 ,        β.   Κ 2 = 2 Κ 1 ,       γ. Κ 1 = 2 Κ 2 ,       δ.   Κ 2 = 4 Κ 1 Β. Αιτιολογείστε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ