Physics problems for exams at Greek universities

Μια ακόμη άσκηση στα στάσιμα κύματα, πράγματι όμορφη , γιατί λύνει πολλές απορίες μαθητών οι οποίοι «παίρνουν κατά γράμμα» τα όσα αναφέρονται στις τρείς πρώτες σειρές, στον ορισμό, και στο πρώτο σχήμα στην παράγραφο για το στάσιμο κύμα του σχολικού βιβλίου.   Σε οριζόντιο γραμμικό, ομογενές και ελαστικό μέσον, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x ΄Ο x , διαδίδεται εγκάρσιο ορμονικό κύμα προς τη θετική φορά. Κάθε υλικό σημείο στο οποίο φτάνει το κύμα ξεκινάει από τη θέση ισορροπίας του να εκτελεί αρμονική ταλάντωση προς τη θετική φορά του άξονα ψ΄ψ. Η ταχύτητα των υλικών σημείων που τίθενται σε ταλάντωση μηδενίζεται περιοδικά κάθε 0,5 sec , τις στιγμές που το μέτρο της επιτάχυνσης είναι 0,4π 2 m / s 2 . Ο λόγος της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης των υλικών σημείων προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι π/2. Α. Να υπολογίσετε την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης των υλικών σημείων, την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος κύματος. Β. Ένα δεύτερο πανομοιότυπο κ...

Οι Πανελλήνιες είναι πλέον κοντά! Τέλειωσαν και οι διακοπές του Πάσχα.  Γι αυτό, το “… επιλογή θεμάτων”, εκτός των άλλων, θα προσφέρει καθημερινά στους ενδιαφερόμενους, μαθητές και συναδέλφους, από ένα θέμα για εξάσκηση στο  ΘΕΜΑ Γ.   1. Αρμονικό κύμα σε χορδή. Απομάκρυνση, ταχύτητα και επιτάχυνση ενός υλικού σημείου Στην αρχή Ο μιας τεντωμένης χορδής πολύ μεγάλου μήκους υπάρχει πηγή κύματος, η οποία αρχίζει τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με αποτέλεσμα να δημιουργεί κύμα με εξίσωση                                                         ψ = 0,3ημ(2π t – π x ) Να εξάγετε τις συναρτήσεις με το χρόνο της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου Σ της χορδής που βρίσκεται στη θ...

  2. Φάση, μεταβολή φάσης, διαφορά φάσης, μέγιστη και ελάχιστη απόσταση δυο υλικών σημείων σε ένα κύμα Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, συχνότητας f = 2 H z και πλάτους A =0,4 m , διαδίδεται με ταχύτητα υ=2,4 m / s προς τη θετική κατεύθυνση ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που θεωρούμε ότι ταυτίζεται με τον άξονα x Ό x . Τη στιγμή t = 0 το κύμα φτάνει στην αρχή Ο του άξονα, η οποία ξεκινά από τη θέση ισορροπίας της και αρχίζει να κάνει ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν. Α. Να βρείτε τη σχέση της φάσης της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους και να αποδώσετε γραφικά τη φάση των σημείων που βρίσκονται μεταξύ των θέσεων Α ( x 1 = -3 m ) και Β ( x 2 = +3 m ), για τη στιγμή t = 0,75 sec . Β. Να προσδιορίσετε την εξίσωση που παρέχει τη φάση του σημείου Β του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά για το χρονικό διάστημα 0 ως 2 sec . Γ. Να βρείτε την εξίσωση που παρέχει τη διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Κ και Λ του ελασ...

3. Τρέχον κύμα σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Σημείο στη θέση x = + A για πρώτη φορά. Προσδιορισμός σημείων με ορισμένη απομάκρυνση. Στιγμιότυπο.  Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα παράγεται από μια πηγή που βρίσκεται στην αρχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και ταλαντώνεται σύμφωνα με τη σχέση:                                                         ψ = 0,01ημπ t    ( S . I )  Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας της πηγής ως αρχή Ο των αξόνων, και ότι το κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας κατά την κατεύθυνση Ο x με ταχύτητα ίση με 100/π φορές τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου διάδοσης. Ένα σημείο Σ του μέσου βρίσκεται στη θέση x Σ = 5 m .   Α. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1 που το Σ θα βρεθεί για πρώτη φορά στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης, καθώς και την ταχύτητά του τη στιγμή t 2 = 12 s ...

  4. Γραμμικό εγκάρσιο κύμα, τρία υλικά σημεία, ταλάντωση, μέγιστη κι ελάχιστη  απόστασή τους. Σε ένα οριζόντιο γραμμικό ελαστικό μέσο, που ταυτίζεται με τον άξονα x ΄ x ,  διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ= 1 m / s . Θεωρείστε τρία υλικά σημεία Κ,Λ,Μ του μέσου και υποθέστε ότι το Λ ξεκινάει την ταλάντωσή του τη στιγμή t =0 με εξίσωση ψ Λ = 0,06ημ20π t ( S . I ) και λίγο αργότερα το Μ με εξίσωση ταλάντωσης  ψ Μ = 0,06ημ20π( t -0,05)  ( S . I ).  Αν x M - x K  = 4λ: Α.   Να δείξετε ότι το κύμα πέρασε πρώτα από το Κ, να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης του Κ, καθώς και τη διαφορά Ν Κ – Ν Μ , όπου Ν K και Ν Μ το πλήθος των ταλαντώσεων των υλικών σημείων Κ και Μ από την έναρξη της ταλάντωσής τους μέχρι μια χρονική στιγμή t 1 ≥ x M /υ. Β. Να δείξετε ότι το Λ έχει κάθε στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα με τα Κ και Μ. Γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος  από το Κ μέχρι το Μ ...

5. Συμπεράσματα από ένα στιγμιότυπο τρέχοντος κύματος. K ατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x ΄ x , έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,3 m . Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x ΄ x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση του. Έτσι, στο στιγμιότυπο της στιγμής t = 0, που φαίνεται στο σχήμα, από τη θέση x = 0 διέρχεται μια κοιλάδα του κύματος. Α. Να δείξετε πάνω στο σχήμα ποια είναι η φορά των ταχυτήτων των υλικών σημείων Β και Γ. B . Δίνεται ΒΓ=25 cm και ότι το σημείο Γ θα φτάσει για πρώτη φορά στην κάτω ακραία θέση τη στιγμή t 1 = 0,45 s . Β1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μέτρο των ταχυτήτων των Β και Γ και την επιτάχυνση του Ο τη στιγμή t = 0. B 2. Να εξετάσετε αν το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση ψ = 0,2ημω(t -x/υ). B 3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύ...

6. Αρμονικό κύμα σε χορδή απείρου μήκους και αρμονική ταλάντωση δύο σημείων της . Πάνω σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσον διαδίδεται ένα απλό αρμονικό κύμα. Ένα σημείο Ο του ελαστικού μέσου ορίζεται ως αρχή αξόνων. Κάποια στιγμή παρατηρούμε ότι οι φάσεις δύο σημείων Α και Β με συντεταγμένες x A = +17,25 m και x B = +10 m είναι, αντίστοιχα,     Φ Α = +7π και Φ Β = +36π. Α. Να βρείτε το μήκος κύματος λ. Β.  Αν δίνεται ότι για τις χρονικές στιγμές t A και t B , που για πρώτη φορά τα σημεία Α και Β διέρχονται από τη μέγιστη θετική απομάκρυνσή τους,   ισχύει:  t A – t B = 7,25 sec,  και ότι η αρχή αξόνων ξεκινά την ταλάντωσή της τη χρονική στιγμή t = 0, χωρίς αρχική φάση, με πλάτος 0,2 m ,  να βρείτε: Β1. Την περίοδο ταλάντωσης της πηγής, και Β2.  Την εξίσωση του κύματος που δημιουργείται πάνω στο γραμμικό ελαστικό μέσον.  Γ. Κάποια στιγμή, έστω t 1 , το υλικό σημείο Α έχει ταχύτητα  υ Α = -0,8π m / s . Ποια είναι η απομάκρυνση του υλικο...

    7. Δύο σύγχρονες πηγές σε τεντωμένη χορδή απείρου μήκους με περιορισμένο το χρόνο λειτουργίας της μιας Μια τεντωμένη χορδή απείρου μήκους ταυτίζεται με τον άξονα x ΄ o x . Στη θέση x = 0 υπάρχει πηγή κύματος Π 1 ,  η οποία τη στιγμή t = 0 αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση ψ = Αημω t .  Έτσι δημιουργούνται δύο κύματα που διαδίδονται το ένα προς τη θετική κατεύθυνση και κατά  μήκος του ημιάξονα Ο x και το άλλο προς την αρνητική κατεύθυνση επί του ημιάξονα  Ο x ΄. Στο σχήμα παριστάνονται δύο στιγμιότυπα αυτών των κυμάτων τις χρονικές στιγμές  t 1 =0,6  s , t 2 = 0,9 s . Α. Με ποια ταχύτητα διαδίδονται τα δύο κύματα που δημιουργούνται και ποιες είναι οι εξισώσεις τους; Β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο των κυμάτων τη χρονική στιγμή t 3 = 1,2 s . Γ.   Έστω ότι στη θέση x = +2,8 m υπάρχει και μια δεύτερη πηγή Π 2 , που ξεκινάει, όπως και η πηγή Π 1 , τη στιγμή t = 0 να ταλαντώνεται με εξίσωση ίδια με της Π 1 . Γ1. Να προσδιορί...

Σε δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας ενός υγρού, που αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π 2 οι οποίες, τη  στιγμή t = 0, αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση ψ = Αημω t η καθεμιά, με αποτέλεσμα τη δημιουργία  δύο αρμονικών κυμάτων. Σε ένα σημείο Ρ της επιφάνειας του υγρού βρίσκεται ένα μικρό κομμάτι φελλού και τα κύματα των δύο πηγών Π 1 και Π 2 φτάνουν σ’ αυτό τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2 , αντίστοιχα. A . Να δείξετε ότι η εξίσωση ταλάντωσης του φελλού, μετά τη συμβολή των κυμάτων στο σημείο Ρ, είναι: B . Έστω Α = 0,1 m , ω =2π r / s και η ταχύτητα διάδοσης υ = 0,25 m / s , τότε:  Β1. Αν για το Ρ ισχύει t 1 = 2 s και t 2 = 6 s , να δείξετε ότι το Ρ είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής των κυμάτων. Β2. Αν ΑΒ = 1,2 m , να προσδιορίστε τη θέση ενός σημείου Ρ΄,  που βρίσκεται στην ίδια υπερβολή ενίσχυσης με το Ρ και πάνω στην ευθεία του ΑΒ. Γ. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα απομάκρυνσης – χρόνου για...

Ένας κυματικός παλμός … από την Αντιγόνη Την παρακάτω άσκηση   τη φτιάξαμε μαζί με τη μαθήτριά μου Αντιγόνη. Όλα ξεκίνησαν όταν εξέφρασε την απορία: « Και τι γίνεται όταν η πηγή αρμονικής διαταραχής σταματήσει να ταλαντώνεται ; » Την αφιερώνουμε σε όλους   τους αναγνώστες . Το άκρο Ο ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ημιάξονα Ο x αρχίζει, τη στιγμή t = 0, να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση   ψ = 0,2ημ2πt   (S.I).   Η ταλάντωση του υλικού σημείου Ο διαδίδεται στο μέσο με ταχύτητα υ = 5 m/sec . Τη στιγμή t 1 = 2,5 sec διακόπτεται η ταλάντωσή του... Δείτε: ·          Όλη την άσκηση ·          Τη λύση της  

Στο στιγμιότυπο της στιγμής t 1 ενός αρμονικού κύματος, που διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής και περιγράφεται από την εξίσωση ψ = Αημ2π( t / T   - x /λ), η φάση μεταβάλλεται σε σχέση με την απόσταση από την αρχή αξόνων όπως δείχνει το διάγραμμα (α), ενώ η φάση της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Σ της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα (β). α)   Προσδιορίστε την απόσταση του υλικού σημείου Σ από την αρχή αξόνων καθώς και τη χρονική στιγμή t 1 . β)   Αν η μέγιστη επιτάχυνση των μορίων του ελαστικού μέσου διάδοσης είναι ... Δείτε:   ·          Ολόκληρη την άσκηση ·          Συνοπτική απάντηση ·          Αναλυτική απάντηση