Physics problems for exams at Greek universities

Δύο δίσκοι χόκεϋ επί πάγου ακτίνων R και μάζας m κινούνται ο ένας προς τον άλλο σε μια οριζόντια  επιφάνεια, χωρίς τριβή, με ίσες και αντίθετες ταχύτητες σε μια πορεία μετωπικής σύγκρουσης. Και οι δύο περιστρέφονται αριστερόστροφα γύρω από το αντίστοιχο κέντρο μάζας τους με γωνιακή ταχύτητα ω, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. α. Υπολογίστε τη συνολική ορμή και στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων πριν την κρούση. β. Είναι η συνολική στροφορμή του συστήματος των δίσκων μετά την κρούση ίδια με αυτήν πριν την κρούση; γ. Αν η κρούση είναι πλαστική και οι δύο δίσκοι συγκολλώνται σε ένα διπλό δίσκο, ποια είναι η ροπή αδράνειας του διπλού δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του; (Δίνεται η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς το δικό του κέντρο μάζας του ίση με ½ mR 2 ). δ. Θα περιστρέφεται ο διπλός δίσκος γύρω από το κέντρο μάζας του; Αν ναι να υπολογίσετε το τη γωνιακή του ταχύτητα, αν όχι να εξηγείστε γιατί.  Απάντηση σε pdf:      Απάντηση σε word :

Το σύστημα “ράβδος – σφαιρίδιο Σ 1 ” του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, κάθετο στο άκρο Ο της ράβδου. Η μάζα του Σ 1 είναι ίση με τα 2/3 της μάζας Μ της ράβδου, ενώ του Σ 2 είναι τετραπλάσια της μάζας της ράβδου. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα από την οριζόντια θέση. Όταν φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ 2 και ακινητοποιείται, ενώ το Σ 2 , δεμένο στην άκρη ενός σχοινιού μήκους L /2,, αρχίζει να εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, με κέντρο το ακλόνητο άλλο άκρο του σχοινιού. α. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. β. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο Σ 2 δεν θα μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση. γ. Να προσδιορίσετε τη θέση όπου διακόπτεται η κυκλική κίνηση. δ. Να βρείτε τη γραμμική επιτάχυνση, τη γωνιακή επιτάχυνση και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του Σ 2 , στην παραπάνω θέση.   Δίνονται: για τη ράβδο M = 1 kg , Ι cm = (1/12) ML 2 και το μήκος της   L = 2 m , καθώς και η επιτάχυνσ...

Απορία μαθητή. Μου δόθηκε η εξής άσκηση: Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Το μήκος της ράβδου είναι L και η μάζα της Μ. Σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m , ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή συχνότητα ω 0 . Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι, λόγω αδράνειας, ωθούνται στα άκρα της ράβδου, όπου δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο να τους συγκρατήσει κι έτσι πέφτουν στο έδαφος. Να υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και την κινητική ενέργεια περιστροφής του, τη στιγμή που οι δύο δακτύλιοι φτάνουν στο τέλος της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι   I ρ   = ML 2 /12. Γνωρίζω ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω την αρχή διατήρησης στροφορμής:                     ...

Δεν έχουμε εδώ διατήρηση της στροφορμής του συστήματος των δύο δίσκων. Αν ίσχυε, θα είχαμε: Ι 1 ω 0 = Ι 1 ω 1 – Ι 2 ω 2 , δηλαδή Ι 1 ω 1 = Ι 1 ω 0 + Ι 2 ω 2 , οπότε ω 1 > ω 0 και άρα η κινητική ενέργεια κάθε δίσκου θα αύξαινε, άρα και του συστήματος. Φυσικά, αυτό αντίκειται στην Α.Δ.Ε. συστήματος. Τι συμβαίνει λοιπόν;  Κοιτάξτε το αριστερό σχήμα (α): Θεωρήστε τους δύο δίσκους πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Είναι η στιγμή που φέρνουμε σε επαφή τις περιφέρειες των  δύο δίσκων. Έχουν σχεδιαστεί οι δύο τριβές ολίσθησης (με κόκκινο χρώμα) στις περιφέρειες των δύο δίσκων. Είναι δύο δυνάμεις αντίθετες (δράση – αντίδραση), που δρουν στα σημεία επαφής των περιφερειών των δύο δίσκων. Επειδή οι εξωτερικές δυνάμεις, βάρος -  αντίδραση δαπέδου, έχουν συνισταμένη μηδέν, κάθε δίσκος δέχεται μια καθαρή δύναμη Τ, που παρουσιάζει ροπή ως προς το κέντρο μάζας του. Το αποτέλεσμα είναι γνωστό: Ο δίσκος 2 θα εκτελέσει μια σύνθετη κίνηση, μεταφορική κατά τη διεύθυνση της Τ και στροφική ...

  Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους: «Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι 1 και Ι 2 , αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r 1 και r 2 . Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 0 , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων   γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω 1 του δίσκου 1 ».   Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα. Γνω...

Το κέντρο μάζας του παιδιού, με λυγισμένα τα γόνατα, βρίσκεται σε απόσταση ΟΒ από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία (θέση 1), και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του (θέση 3) το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄. Να επιλέξετε το σωστό σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ι. Το μέτρο της στροφορμής του παιδιού, γύρω από το Ο, κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄,                α. Αυξάνεται,     β. Παραμένει σταθερό,        γ. Ελαττώνεται ΙΙ. Αν Ρ Α και Ρ Α ΄ είναι τα μέτρα της ορμής του παιδιού όταν το κέντρο μάζας του βρίσκεται, αντίστοιχα, στα σημεία Α και Α΄, τότε:           ...

                               Έστω ότι το κέντρο μάζας (σημείο  B ) ενός παιδιού, που κάθεται πατώντας με λυγισμένα τα γόνατα σε μια ελαφριά κούνια, βρίσκεται σε ύψος 1,2  m  πάνω από το έδαφος. Το βάρος του παιδιού είναι 400 Ν και το κέντρο μάζας του, με λυγισμένα τα γόνατα, απέχει 3,7  m  από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία, και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄, κατά 0,6  m   ψηλότερα. Να βρείτε: α.  Τη μεταβολή της στροφορμής του παιδιού κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄. β.  Τη μεταβολή της ορμής του παιδιού κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄. γ.  Το ύψος του κέντρου μάζας του παιδιού, τη στιγμή που...

Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz ΄. Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg , φέρει οπή κατά μήκος   του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ. Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ από το Β και η στροφορμή του ως προς τον άξονα zz ΄ έχει τιμή L . Αν το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω΄= 2ω, τότε το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου: Ι. Η απόστασή του ℓ΄ από το Β είναι:                             α. ℓ΄= 2ℓ,                 β. ℓ΄ =   ℓ,                γ.   ℓ΄ =   ℓ/4 ΙΙ. Η στροφορμή του L...

14.   Δυο ομογενείς οριζόντιοι δίσκοι μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κοινό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα μάζας τους όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά περιστρέφεται μόνο ο δίσκος 1 ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Η ροπή αδράνειας I 1 του δίσκου 1 είναι άγνωστη ενώ του δίσκου 2 είναι   Ι 2 = 4 kg . m 2 . Κάποια στιγμή ο δίσκος 2 αφήνεται να πέσει πάνω στο δίσκο 1 με τον οποίο και προσκολλάται. Στο διάγραμμα φαίνεται πώς μεταβάλλεται η στροφορμή του δίσκου 1 Από τα παραπάνω συνάγεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου 1 είναι: α. 1 kg . m 2        β. 4 kg . m 2       γ. 5 kg . m 2         δ. 6 kg . m 2 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.  ΑΠΑΝΤΗΣΗ

13.  Ένα σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R , όπως φαίνεται στο σχήμα. Τραβάμε το σχοινί και μειώνουμε την ακτίνα περιστροφής του σφαιριδίου στο μισό. Τότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σφαιριδίου γύρω από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς: α) παραμένει ίδια. β) διπλασιάζεται. γ) υποδιπλασιάζεται δ) τετραπλασιάζεται. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

15. Μια γυναίκα κάθεται σε κάθισμα που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του. Η γυναίκα κρατά στα χέρια της έναν οριζόντιο περιστρεφόμενο χωρίς τριβές τροχό ποδηλάτου του οποίου η στροφορμή κατά τον κατακόρυφο άξονά του είναι   L 0 . Το κάθισμα στην κατάσταση αυτή είναι ακίνητο. Κάποια στιγμή η γυναίκα περιστρέφει τον τροχό γύρω από οριζόντιο άξονα κατά 180 0 , ώστε η πάνω επιφάνεια του τροχού να έρθει από κάτω. Μετά από αυτό το σύστημα γυναίκα – κάθισμα θα έχει αποκτήσει στροφορμή με μέτρο: α. 2 L 0 .   β. L 0 .   γ. L 0 /2    δ. 0 Α.   Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμα. Β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μια πειραματική επίδειξη, που συχνά γίνεται στις αίθουσες διδασκαλίας, είναι αυτή ενός μαθητή που κρατά από τον άξονά της μια περιστρεφόμενη ρόδα ποδηλάτου ενώ πατά πάνω σε μια αρχικά ακίνητη πλατφόρμα που μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα. Ο άξονας περιστροφής του τροχού είναι αρχικά οριζόντιος (εικόνα a ) και ο μαθητής προσπαθεί να αλλάξει τον προσανατολισμό του έτσι ώστε να γίνει κατακόρυφος (εικόνα b ). Καθώς αλλάζει τον προσανατολισμό του τροχού, η πλατφόρμα αρχίζει να περιστρέφεται αντίθετα από  τη φορά περιστροφής του τροχού. Αν θεωρήσουμε τις τριβές που αντιτίθενται στην περιστροφή της πλατφόρμας αμελητέες, τότε αυτή μαζί με το μαθητή θα περιστρέφονται σ’ όλη τη διάρκεια που η ρόδα συγκρατείται με τον άξονά της κατακόρυφο. Αν ο μαθητής επαναφέρει τον τροχό στον αρχικό του προσανατολισμό, η περιστροφή της πλατφόρμας σταματά. Η πλατφόρμα μπορεί να … Δείτε  Όλο το θεωρητικό σημείωμα εδώ . Ένα σχετικό βίντεο εδώ .