Physics problems for exams at Greek universities

Η πρόσφατη κατασκευή G 2 της NASA περιλαμβάνει ένα σφόνδυλο, που χρησιμοποιείται ως συσσωρευτής κινητικής ενέργειας και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Σχήμα : συμπαγής κύλινδρος με στρώσεις ανθρακονημάτων και τιτανίου. Διάμετρος: 30 cm Ύψος: 76  cm , Μέση πυκνότητα υλικού: 400 kg / m 3 (ανθρακονήματα -τιτάνιο) Μέγιστη ενέργεια: 525 Wh , Μέγιστη ισχύς: 1 kW , Θεωρώντας τις απώλειες λόγω τριβών αμελητέες, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Ποια είναι η μάζα Μ του σφονδύλου; β. Ποια είναι η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει ο σφόνδυλος; γ. Για πόσο χρόνο μπορεί ο παραπάνω σφόνδυλος, φορτισμένος με τη μέγιστη ενέργεια, να παρέχει μέγιστη ισχύ, πριν να χρειαστεί επαναφόρτιση; δ. Ποια είναι η μέση γωνιακή επιτάχυνση του σφονδύλου στη διάρκεια εκφόρτισής του; Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι cm =   Μ R 2 /2.  Απάντηση:

Ο σφόνδυλος είναι μια μάζα, περιστρεφόμενη γύρω από ακλόνητο άξονα, η οποία  μπορεί να αποθηκεύσει ενέργεια με μηχανικό τρόπο, υπό τη μορφή κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής.  Σήμερα, συνδυάζεται με μια ηλεκτρική συσκευή, που μπορεί να λειτουργεί άλλοτε ως κινητήρας και άλλοτε ως γεννήτρια. Όταν η ηλεκτρική συσκευή λειτουργεί ως κινητήρας, θέτει σε περιστροφή τον σφόνδυλο και όσο πιο γρήγορα περιστρέφεται αυτός, τόσο περισσότερη ενέργεια αποθηκεύει. Ο σφόνδυλος, δηλαδή, λειτουργεί ως μια μηχανική μπαταρία. Όταν υπάρχει ζήτηση ηλεκτρικής ενέργειας, τότε η αποθηκευμένη μηχανική ενέργεια μετατρέπεται ξανά σε ηλεκτρική, μέσω της ηλεκτρικής συσκευής, η οποία αυτή τη φορά λειτουργεί ως γεννήτρια που παράγει ηλεκτρική ισχύ. Για τη μείωση των ενεργειακών απωλειών τα άκρα του άξονα περιστροφής στερεώνονται ακλόνητα σε μαγνητικά στηρίγματα και ο όλος μηχανισμός (σφόνδυλος και ηλεκτρική  συσκευή) τοποθετείται μέσα σε ένα θάλαμο υπό κενό. Έτσι η ενεργειακή απόδοση της διάταξης μπο...

Το σύστημα “ράβδος – σφαιρίδιο Σ 1 ” του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα, κάθετο στο άκρο Ο της ράβδου. Η μάζα του Σ 1 είναι ίση με τα 2/3 της μάζας Μ της ράβδου, ενώ του Σ 2 είναι τετραπλάσια της μάζας της ράβδου. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα από την οριζόντια θέση. Όταν φτάσει στην κατακόρυφη θέση συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ 2 και ακινητοποιείται, ενώ το Σ 2 , δεμένο στην άκρη ενός σχοινιού μήκους L /2,, αρχίζει να εκτελεί κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, με κέντρο το ακλόνητο άλλο άκρο του σχοινιού. α. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. β. Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο Σ 2 δεν θα μπορέσει να εκτελέσει ανακύκλωση. γ. Να προσδιορίσετε τη θέση όπου διακόπτεται η κυκλική κίνηση. δ. Να βρείτε τη γραμμική επιτάχυνση, τη γωνιακή επιτάχυνση και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του Σ 2 , στην παραπάνω θέση.   Δίνονται: για τη ράβδο M = 1 kg , Ι cm = (1/12) ML 2 και το μήκος της   L = 2 m , καθώς και η επιτάχυνσ...

Δύο σφαίρες, ίσων μαζών, συγκρούονται ελαστικά. Αν υ 1 , υ 2 και V 1 και V 2 είναι τα μέτρα των ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση, αντίστοιχα, και φ η γωνία που σχημάτιζαν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων πριν την κρούση, να βρείτε τη γωνία θ που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων μετά την κρούση. Εφαρμογή για φ = 30 ο ,  υ 1 = 20 m / s ,  υ 2 = 10 m / s , V 1 = 10√3 m / s . Απάντηση:

Το σώμα Σ, που περιέχει ένα μικρόφωνο συνδεμένο με μια συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου που συλλαμβάνει, είναι στερεωμένο στο κατώτερο άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο συγκρατείται   από την οροφή. Κάτω από το σώμα Σ, στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, και σε απόσταση εκτός των ορίων της ταλάντωσής του, βρίσκεται μια ηχογόνος πηγή η οποία παράγει ήχο συχνότητας f s = 1700 Hz . Θέτουμε το σώμα σε απλή αρμονική ταλάντωση και κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις: Η συσκευή καταμέτρησης της συχνότητας του ήχου  καταγράφει δύο ακραίες συχνότητες f max και f min    με διαφορά    f max - f min = 80 Hz . Κάποια χρονική στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή μέτρησης των χρόνων ( t = 0),   ο δέκτης καταγράφει συχνότητα ήχου f A = 1680 Η z , η οποία ελαττώνεται συνεχώς μέχρι και τη χρονική στιγμή t 1 . α.    Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του μικροφώνου. β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική ...

(Μια παραλλαγή του προβλήματος 5.53 του σχολικού βιβλίου ) Δύο παιδιά βρίσκονται στο ίδιο σημείο στο εσωτερικό μιας σήραγγας τρένου.  Κάποια στιγμή ακούν τη σειρήνα ενός τρένου, που πλησιάζει με ταχύτητα υ s = 30 m / sec . Τη στιγμή αυτή το τρένο βρίσκεται σε απόσταση ℓ από την είσοδο της σήραγγας, όσο είναι και το μήκος της. Τα παιδιά αντιλαμβάνονται ότι κινδυνεύουν αν το τρένο τα βρει μέσα στο τούνελ και, γι’ αυτό, αμέσως με το άκουσμα της έναρξης του ήχου της σειρήνας, τρέχουν αντίθετα μεταξύ τους με ίσες κατά μέτρο σταθερές ταχύτητες. Η θέση που βρίσκονταν, καθώς και το μέτρο της ταχύτητάς τους, έχουν τέτοια τιμή, ώστε και τα δυο παιδιά να προλάβουν να βγουν από τη σήραγγα, ακριβώς τη στιγμή που τα φτάνει το τρένο.  Η σειρήνα του τρένου παράγει ήχο συχνότητας 310 Hz για 15 sec .  Να βρείτε: α. Τη συχνότητα του ήχου της σειρήνας, που ακούει κάθε παιδί. β. Τη χρονική διάρκεια που κάθε παιδί εκτιμά ότι έχει ο ήχος της σειρήνας.    Δίνεται η ταχύτητα του ήχου ...

(Δύο εξισώσεις, τρεις άγνωστοι, ένας ζητούμενος) Ένας ακίνητος παρατηρητής - ακροατής Π και δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 βρίσκονται στην ίδια ευθεία ενός οριζοντίου επιπέδου, πάνω στην οποία τα Σ 1 και Σ 2 μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές. Το σώμα Σ 2 είναι ανάμεσα στον παρατηρητή Π και στο σώμα Σ 1 . Και τα δύο σώματα είναι εφοδιασμένα με ηχητικές πηγές, που εκπέμπουν ήχο ίδιας συχνότητας f s = 600 Hz . Αρχικά, ο παρατηρητής ακούει δύο ήχους, από τους οποίους ο ένας έχει συχνότητα 600 Η z και ο άλλος έχει συχνότητα 680 Η z . Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά και κεντρικά και ο παρατηρητής ακούει ξανά δύο ήχους, από τους οποίους ο ένας έχει συχνότητα 1700/3 Hz . Να βρείτε: α. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο σωμάτων, πριν και μετά την κρούση τους. β. Ποια άλλη συχνότητα θα ακούει, τελικά, ο παρατηρητής.   (Δίνεται υ Η = 340 m / s .) Απάντηση

Απορία μαθητή. Μου δόθηκε η εξής άσκηση: Η ράβδος του σχήματος είναι οριζόντια και μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσον της. Το μήκος της ράβδου είναι L και η μάζα της Μ. Σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής βρίσκονται δύο μεταλλικοί δακτύλιοι μάζας m , ο καθένας, που συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα. Το σύστημα στρέφεται γύρω από τον άξονα με γωνιακή συχνότητα ω 0 . Κάποια στιγμή το νήμα σπάει και οι δακτύλιοι, λόγω αδράνειας, ωθούνται στα άκρα της ράβδου, όπου δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο να τους συγκρατήσει κι έτσι πέφτουν στο έδαφος. Να υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και την κινητική ενέργεια περιστροφής του, τη στιγμή που οι δύο δακτύλιοι φτάνουν στο τέλος της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι   I ρ   = ML 2 /12. Γνωρίζω ότι πρέπει να χρησιμοποιήσω την αρχή διατήρησης στροφορμής:                     ...

Η κινητική ενέργεια του συστήματος «αβαρής ράβδος – σφαιρίδια», που κινείται με ταχύτητα 5 m / s και εκτελεί 1 περιστροφή το δευτερόλεπτο γύρω από το κέντρο μάζας του, είναι:    α. 650 J ,          β. 316,67 J ,         γ.   350 J Επιλέξτε το σωστό και αιτιολογείστε. Απάντηση:

Τρεις παρόμοιοι συμπαγείς και ομογενείς κύλινδροι και ένα αβαρές σχοινί αποτελούν το σύστημα του σχήματος. Όταν κύλινδρος 3 κατεβαίνει, ο 1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού και το σχοινί, χωρίς να ολισθαίνει, θέτει σε περιστροφή τον κύλινδρο 2.   Αρχικά το σύστημα ηρεμεί. Με ποια ταχύτητα θα φτάσει ο κύλινδρος 3 στο έδαφος; Θεωρείστε τη μάζα των συνδέσμων των κυλίνδρων 1 και3 με το σχοινί αμελητέα. Δίνεται για τους κυλίνδρους Ι cm = MR 2 /2   και η επιτάχυνση βαρύτητας g .  Πηγή : Giancoli, Physique mécanique, CEC, 1993, P 298 Απάντηση:

Στο σχήμα φαίνονται, κάποια χρονική στιγμή t 1 , οι ταχύτητες των άκρων μιας ομογενούς ράβδου η οποία κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το μήκος της ράβδου είναι 1 m και η μάζα της 3 kg . Να βρείτε: α. Την κινητική ενέργεια της ράβδου β. Την ιδιοστροφορμή (σπιν) της ράβδου Δίνεται για τη ράβδο:   Ι cm = mL 2 /12 Απάντηση:

Μια μπάλα, που αρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, δέχεται μια στιγμιαία ώθηση και ξεκινάει με ταχύτητα υ 0 = 2,1 m / s , χωρίς αρχικά να κυλίεται (που σημαίνει ότι αρχικά κινείται ολισθαίνοντας στο έδαφος).   Επειδή όμως η τριβή ολίσθησης ανάμεσα στην μπάλα και στο έδαφος ασκεί μια ροπή πάνω της, η μπάλα θα αρχίσει να περιστρέφεται και τελικά η γωνιακή της ταχύτητα θα πάρει τέτοια τιμή, ώστε η μπάλα θα πάψει να γλιστράει. Με πόση ταχύτητα η μπάλα, τελικά, θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει; Δίνεται για την μπάλα: I cm = 2 mR 2 /5 Απάντηση:

Μια σφαίρα, μάζας m = 1 kg και ακτίνας r = 0,1 m συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερη (χωρίς να την σπρώξουμε). α. Η σφαίρα κυλίεται στο κοίλο ημισφαιρικό δοχείο, ακτίνας R = 1,1 m , του σχήματος χωρίς να ολισθαίνει. Με πόση ταχύτητα διέρχεται από το χαμηλότερο σημείο Β του δοχείου; β. Αν στη συνέχεια (μετά το σημείο Β) η εσωτερική επιφάνεια του δοχείου είναι λεία, να εξετάσετε, χωρίς υπολογισμούς: i .   αν η σφαίρα θα φτάσει (κινούμενη στο λείο τμήμα του δοχείου) σε ύψος ίσο με εκείνο από το οποίο ξεκίνησε, ii . αν, μετά την επιστροφή της στο σημείο Β, η σφαίρα θα επανέλθει στη θέση απ’ όπου την αφήσαμε. Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ι cm = 4 · 10 -3 kg · m 2 και η επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m / s 2 . Απάντηση:

1. Ένα βαγόνι τραίνου (η … εύκολη) Ένα βαγόνι τραίνου, φορτωμένο με αυτοκίνητα, έχει μάζα 6000 kg και ρυμουλκείται σε ένα λείο ανηφορικό δρόμο με κλίση 1:30 (ημθ = 1/30), με τη βοήθεια ενός σχοινιού, που τυλίγεται χωρίς να γλιστράει γύρω από ένα κυλινδρικό τύμπανο με διάμετρο 1 m και ροπή αδράνειας 200 kg · m 2 . Στο τύμπανο ενεργεί σταθερή ροπή τ = 3000 Ν· m και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, ο οποίος είναι ακλόνητα στερεωμένος, χωρίς τριβές, με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Να υπολογίσετε: α. Την τάση του σχοινιού. (Θεωρείστε το σχοινί αβαρές). β. Την ισχύ της ροπής που εφαρμόζεται στο τύμπανο τη στιγμή που έχει τυλιχτεί σε αυτό μήκος σχοινιού ίσο με 1,18 m .   Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας   g = 10 m / s 2 . Η ΛΥΣΗ

Στη δεύτερη αυτή άσκηση ρυμουλκείται, όπως φαίνεται στο σχήμα, μια ομογενής μαρμάρινη κυλινδρική κολώνα, όπως   πριν, με τις εξής αλλαγές και προσθήκες: i . Ο δρόμος δεν είναι λείος και ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ii . Η κολώνα έχει μάζα Μ = 6000 kg , ακτίνα R 1 = 0,5 m και ροπή αδράνειας Ι 1 = 750 kg · m 2 , ως προς τον γεωμετρικό της άξονα. Η δύναμη από το σχοινί ενεργεί στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου, κάθετα στον άξονα, και παράλληλα προς το δρόμο. Όλα τα άλλα μεγέθη είναι ίδια. Να υπολογίσετε α. Την τάση του σχοινιού και την επιτάχυνση του cm της κολώνας. (Θεωρείστε το σχοινί αβαρές). β. Κάποια στιγμή η ταχύτητα ενός σημείου της περιφέρειας της κολώνας, που βρίσκεται σε απόσταση R 1 /2 από το δρόμο, έχει μέτρο ίσο με 1 m / s . Πόση είναι η συνολική κινητική ενέργεια της κολώνας; Η ΛΥΣΗ