Physics problems for exams at Greek universities

[Σε ένα σύστημα σωμάτων σε ισορροπία η συνθήκη Σ F εξ = 0 και Στ εξ = 0 πρέπει να προηγείται οποιασδήποτε άλλης]. Δύο όμοιες, ορθογώνιες, ομογενείς σανίδες, η καθεμιά μάζας m και μήκους L , συνδέονται με έναν μεντεσέ Ο στα άνω άκρα τους. Η καθεμιά σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Ένα σχοινί αμελητέας μάζας συνδέει το κάτω άκρο της δεξιάς σανίδας με την αριστερή σανίδα και είναι κάθετο σε αυτήν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ολόκληρη η διάταξη   βρίσκεται σε ένα οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβές. α) Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το δάπεδο στήριξης σε κάθε σανίδα. β) Πόση είναι η τάση στο νήμα; γ) Ποια δύναμη ασκεί κάθε σανίδα στην άλλη στο πάνω άκρο της μέσω του μεντεσέ;   H επιτάχυνση της βαρύτητας g θεωρείται γνωστή.  [Πηγή : David Morin Introduction to classical mechanics]                   Απάντηση σε Word:                     Απάντηση σε  pdf:

[Μια παραλλαγή της ασκ. 4.57 του σχολικού] Δύο ομογενείς κύλινδροι διαμέτρων R και r , αντίστοιχα, ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διάμετρος του μεγαλύτερου κυλίνδρου είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη από του μικρότερου. Γύρω από τη μέση του μεγαλύτερου κυλίνδρου τυλίγεται ένα λεπτό σχοινί, το ελεύθερο άκρο του οποίου τραβιέται με σταθερή οριζόντια δύναμη F. Υποθέτοντας ότι ο συντελεστής οριακής τριβής μ είναι ίσος με τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως και ίδιος για όλες τις επιφάνειες επαφής, να βρείτε: α) Την ελάχιστη τιμή του ώστε ο μεγαλύτερος κύλινδρος να αναρριχηθεί κυλιόμενος, χωρίς ολίσθηση, πάνω στον μικρότερο και να τον προσπεράσει χωρίς ο μικρότερος να μετατοπιστεί ή να περιστραφεί. Θεωρείστε ότι η δύναμη F είναι επαρκής ώστε να ανεβάσει τον μεγάλο κύλινδρο πάνω στον μικρό. β) Το ελάχιστο μέτρο της F ώστε ο μεγάλος κύλινδρος να αναρριχηθεί στον μικρότερο. Δίνεται το βάρος του μεγάλου κυλίνδρου W = 10 Ν . Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word 

[Μια απλή άσκηση συνδυασμού στροφικής κίνησης τριών σωμάτων]. Το σύστημα σωμάτων του σχήματος αποτελείται από δύο όμοιους ομογενείς κατακόρυφους τροχούς Α, Β και έναν ομογενή δακτύλιο Δ. Οι τροχοί Α και Β ακτίνας r = 4 cm μπορούν να περιστρέφονται γύρω από ακλόνητους οριζόντιους άξονες κάθετους στο κέντρο τους. Ο δακτύλιος Δ, με εσωτερική ακτίνα R εσ = 11 cm και εξωτερική ακτίνα R εξ = 12 c m, είναι τοποθετημένος ανάμεσα στους δύο τροχούς. Γνωρίζοντας ότι ο τροχός Α περιστρέφεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, με τη βοήθεια ενός κινητήρα κατάλληλα προσαρμοσμένου στον άξονά του, με σταθερή συχνότητα f A = 3 c / s και ότι δεν λαμβάνει χώρα ολίσθηση να βρείτε: α. Τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β. β. Την επιτάχυνση των σημείων των τροχών Α και Β τα οποία είναι σε επαφή με τον δακτύλιο. γ. T η στροφορμή του δίσκου ως προς το κέντρο του και την κινητική του ενέργεια αν Ι Δ = 0,004 kg · m 2 . Θεωρείστε ότι π 2 ≈ 10. Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

1. [Η γωνιακή ταχύτητα συνδέεται με τη  γωνία στροφής, δηλαδή με την αλλαγή του προσανατολισμού του στερεού η οποία είναι ίδια, ανεξάρτητη από τον άξονα ή κέντρο περιστροφής]. 2. [Στα ελεύθερα κινούμενα μηχανικά στερεά, οι προβολές των ταχυτήτων δύο σημείων τους στην ευθεία που τα ενώνει είναι ίσες] Κάποια στιγμή t δύο σημεία Α και Β ενός επίπεδου λεπτού δίσκου έχουν ταχύτητες υ 1 και υ 2 , αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία 60 ο και 30 ο , αντίστοιχα,   με το ευθύγραμμο τμήμα που τα συνδέει. ① Μια μόνο από τις δυο παραπάνω απεικονίσεις, (Ι) και (ΙΙ), των ταχυτήτων είναι δυνατή. Να την επιλέξετε αιτιολογώντας την επιλογή σας.  ② Στην επιλεγμένη απεικόνιση, η κίνηση του δίσκου τη στιγμή t μπορεί να είναι: α. μεταφορική,    β. στροφική με κέντρο το Κ,  γ. μεταφορική με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα υ 2 του Β και στροφική με κέντρο το Β και με γωνιακή ταχύτητα ω ③ Αν ΑΒ = d , η γωνιακή ταχύτητα ω ισούται με:  ...

Ένας ομογενής κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια σανίδα, η οποία ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση πάνω σε ένα πλάγιο επίπεδο. Η επιτάχυνση της σανίδας προκειμένου ο κύλινδρος να μην μετατοπίζεται (να μην ανέρχεται, ούτε να κατέρχεται) πρέπει να έχει μέτρο: α) g ημθ,      β) (1/2) g ημθ,      γ) 2 g ημθ     Να επιλέξετε, με αιτιολόγηση, την ορθή τιμή. Δίνεται Ι c = (1/2) MR 2 για τον κύλινδρο.  Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

Μια σανίδα βρίσκεται πάνω από 2 ομοιόμορφους κυλίνδρους που βρίσκονται σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης  θ = 30 0   . Η σανίδα έχει μάζα Μ και καθένας από τους κυλίνδρους έχει μάζα Μ/2. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία. Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ των επιφανειών επαφής, να βρείτε την επιτάχυνση της σανίδας.  Δίνονται g =10 m/s 2 και Ι c = (1/2)MR 2 . Απάντηση σε pdf:    Απάντηση σε word: Μια σημαντική παρατήρηση: Σχόλια για βαθύτερη κατανόηση του προβλήματος :

Ένας συμπαγής ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένος πάνω σε μια οριζόντια ορθογώνια πλατφόρμα ίσης μάζας Μ και μεγάλου μήκους, που μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ο δίσκος δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη F = 40 Ν και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην πλατφόρμα. Να βρείτε: α. Πόσο αυξάνεται η κινητική ενέργεια της πλατφόρμας όταν αυτή μετατοπίζεται κατά D =   1 m . β. Την αντίστοιχη αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω μεταφορικής κίνησης. γ. Την αύξηση της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω στροφικής κίνησης. Δίνεται για τον δίσκο Ι c = (1/2)Μ R 2 . Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

[Είναι μηδέν μόνο αν είναι μηδέν και η ταχύτητα της επιφάνειας πάνω στην οποία κυλίεται ένα σώμα]. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κύλινδρο μάζας Μ = 2 kg με τη βοήθεια μιας σανίδας μάζας Μ= 2 kg , όπως φαίνεται στο σχήμα. Δεν παρατηρείται ολίσθηση στα σημεία επαφής του κυλίνδρου με τη σανίδα και το έδαφος. Η οριζόντια συνιστώσα της δύναμης του ανθρώπου στη σανίδα είναι ίση με F = 11 N . α. Πόση είναι η επιτάχυνση της σανίδας και του κυλίνδρου ως προς το έδαφος; β. Πόσο έργο θα παραχθεί από την F για να μετατοπίσει τον κύλινδρο κατά 1 m ; γ. Πόσο είναι το έργο των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στον κύλινδρο κατά την παραπάνω μετατόπιση; Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Ι C = (1/2)Μ R 2 . Απάντηση σε pdf:    Απάντηση σε word:  Παρατήρηση:

[ Αλλιώς συμπεριφέρεται ο τροχός που ο άξονάς του είναι σταθερός ως προς το καρότσι και αλλιώς ο κύλινδρος που ο άξονας περιστροφής του είναι ελεύθερος ]. Ένα καροτσάκι    Κ υποστηρίζεται από ένα τροχό Α και ένα κύλινδρο Β και οι δύο με ακτίνα 0,05 m . Αν κάποια στιγμή το καρότσι έχει επιτάχυνση 2,8 m / s 2 και ταχύτητα 1,6 m / s , με κατεύθυνση προς τα δεξιά, να βρείτε: α. Τις γωνιακές ταχύτητες και επιταχύνσεις του τροχού Α και του κυλίνδρου Β. β. Τις επιταχύνσεις των κέντρων του τροχού και του κυλίνδρου. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στην πλατφόρμα του καροτσιού και στο οδόστρωμα. Απάντηση σε pdf :  Απάντηση σε word:

Ένας συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R είναι τοποθετημένος πάνω σε μια οριζόντια ορθογώνια πλατφόρμα μεγάλου μήκους. Αρχικά τα δυο σώματα είναι ακίνητα ως προς το έδαφος. Τη στιγμή   t = 0 η πλατφόρμα ξεκινά να εκτελεί ταλάντωση κατά τη διεύθυνση του άξονα xx ΄ με εξίσωση x = x 0 συνω t , όπου x η απομάκρυνση ενός σημείου της, έστω του Κ, από τη θέση ισορροπίας του (Ι). Ο κύλινδρος, με τον άξονά του ελεύθερο, σταθερά προσανατολισμένο κατά τη διεύθυνση του άξονα yy ΄, κάθετη στη διεύθυνση της ταλάντωσης, αρχίζει να κυλίεται πάνω στην πλατφόρμα χωρίς να γλιστράει.   Η μέγιστη ροπή που επενεργεί στον κύλινδρο κατά τη διάρκεια της κίνησης είναι: α.  Μ x 0 ω 2 R      3 β.  Μ x 0 ω 2 R      2 γ.  2 Μ x 0 ω 2 R      3 Να αποδείξετε την επιλογή σας. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του  Ι c   = mR 2 / 2. [Η άσκηση είναι παραλλαγή της  άσκησης 40 σελ.387  ...

Μια επίπεδη σανίδα μάζας m = 1 kg ολισθαίνει πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F = 50 N. Πάνω της είναι τοποθετημένος ένας κύλινδρος μάζας  M = 2 kg και ακτίνας R = 1 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος δεν γλιστράει πάνω στην επιφάνεια της σανίδας, να βρείτε: α.  Τη γραμμική και τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου β. Την επιτάχυνση της σανίδας και την τριβή της με τον κύλινδρο. Δίνεται για τον κύλινδρο  Ι c  = (1/2)Μ R 2 .  Πηγή: https://schools.aglasem.com/58655 Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [Μετά από την παραπάνω θα σας φανούν πολύ απλές οι δύο παρακάτω παραλλαγές]: 1. Ένας ομογενής συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R βρίσκεται πάνω σε μια οριζόντια πλατφόρμα που κινείται με σταθερή επιτάχυνση α π = 3 m / s 2 . Αν ο κύλινδρος κυλά χωρίς να γλιστράει πάνω στην πλατφόρμα μ...

Το πλαίσιο αναφοράς των ταχυτήτων είναι το έδαφος. Αν ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στη σανίδα, η ταχύτητα του ανώτερου σημείου Α του τροχού είναι:   α) 2V Κ β) 2 V Κ + V σ γ) 2 V Κ – V σ δ) ( V Κ - V σ )  Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

Ένας κύλινδρος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση με σταθερή ταχύτητα v πάνω σε μια σανίδα, της οποίας η πάνω επιφάνεια είναι αρκετά τραχιά, αλλά η κάτω επιφάνεια είναι λεία. Αν κόψουμε το σχοινί που συγκρατεί τη σανίδα, τότε: α) Η σανίδα θα κατευθυνθεί προς τα δεξιά. β) Η σανίδα θα κατευθυνθεί προς τα αριστερά. γ) Η σανίδα θα παραμείνει ακίνητη. δ) Η κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί η σανίδα εξαρτάται από το αν η μάζα της είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από τη μάζα του κυλίνδρου.  Απάντηση σε pdf:   Απάντηση σε word:

Ένα αβαρές, μη εκτατό σχοινί, είναι περασμένο στο αυλάκι μιας αβαρούς τροχαλίας Π, που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα και στη συνέχεια είναι τυλιγμένο πολλές φορές στην περιφέρεια ενός ομογενούς τροχού T ακτίνας R , που μπορεί να περιστρέφεται μαζί με τον άξονά του, ο οποίος είναι ένας αβαρής κύλινδρος ακτίνας R /2 σταθερά συνδεμένος με αυτόν. Ο κυλινδρικός άξονας του τροχού, μπορεί να κυλήσει χωρίς ολίσθηση κατά μήκος δύο οριζόντιων παράλληλων σιδηροτροχιών P , (επειδή στο σχήμα α φαίνεται μόνο η σιδηρογραμμή στην μπροστινή όψη του τροχού, στο σχήμα β παρατίθεται σχετική κάτοψη). Η μάζα του τροχού είναι Μ και  η ροπή αδράνειάς του ως προς τον νοητό άξονα που είναι κάθετος στο κέντρο C του τροχού είναι (1/2)Μ R 2 . Αν το άκρο Λ του σχοινιού τραβιέται προς τα κάτω με σταθερή επιτάχυνση g /2 και το σχοινί δεν ολισθαίνει καθώς ξετυλίγεται, να βρείτε: α) Την κατεύθυνση προς την οποία θα κινηθεί το κέντρο C του τροχού. β) Την επιτάχυνση του κέν...