Physics problems for exams at Greek universities

                         Δύο παραλλαγές της 5.41 του σχολικού   1η  Μια σφαίρα Α ακτίνας R κινείται με ταχύτητα v και συγκρούεται ελαστικά με μια άλλη όμοια σφαίρα Β που αρχικά ηρεμεί. Το κέντρο της σφαίρας Β βρίσκεται σε απόσταση b από την ευθεία στην οποία κινείται το κέντρο της Α. Να βρείτε τις ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση. Οδηγία. Επειδή η κρούση είναι ελαστική, δεν έχουμε απώλειες ενέργειας λόγω τριβών μεταξύ των επιφανειών των δύο σφαιρών, στη διάρκεια της κρούσης. Επομένως, στη διάρκεια της κρούσης, δεν ασκούνται εφαπτομενικές δυνάμεις μεταξύ των σφαιρών (που εκτός από την απώλεια ενέργειας θα προκαλούσαν και περιστροφή των σφαιρών και, συνεπώς, μετατροπή μέρους της αρχικής κινητικής ενέργειας σε κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής). Έτσι, οι δυνάμεις, που αναπτύσσονται μεταξύ των δύο σφαιρών κατά την σύγκρουσή τους, πρέπει να είναι κάθετες στις επιφάνειές τους στο σημείο επαφής τους. Μπορο...

2η   Ένα μικρό σφαιρικό σώμα, αμελητέων διαστάσεων, προσπίπτει με ταχύτητα v πάνω σε μια αρχικά ακίνητη σφαίρα ακτίνας R . Τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες. Το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται σε απόσταση b ( b < R ) από την ευθεία πάνω στην οποία κινείται αρχικά η μικρή σφαίρα. Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε η ταχύτητα της μικρής σφαίρας μετά την κρούση θα είναι:  _______                                     α.   v √  1- ( b / R ) 2  ,       β.  v b ⁄ R  ,        γ.    v b ⁄ 2R Απάντηση: Σωστό είναι το β. Η λύση όπως πριν.

Η συνέχεια του θεωρητικού σημειώματος σε pdf   εδώ

    Το παρακάτω άρθρο, είναι η συνέχεια της ανάρτησης  " το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή ". Είχε δημοσιευτεί πέρσι τον Αύγουστο. Το ξαναδίνω  αναθεωρημένο  στην κυκλοφορία σε τέσσερα μέρη και  εμπλουτισμένο  με δύο σχετικές ασκήσεις.   Το πρώτο μέρος είναι αρκετά τυπικό και περιέχει βασικές γνώσεις α.α.τ.  Το δεύτερο περιγράφει πώς δυο καλοί μαθητές μπορούν εύκολα να μπλέξουν "σαν τον Ηρακλή με τις κουβαρίστρες", ακριβώς επειδή είναι καλοί. Ευτυχώς που είναι δύο!  Στο τρίτο μέρος οι συμμαθητές "γεννούν" μια ιδέα που ξεκαθαρίζει τη σχέση μεταξύ των τριών δυναμικών ενεργειών: βαρύτητας, ελαστικότητας και ταλάντωσης.  Στο τέταρτο μέρος γίνεται αναλυτική παρουσίαση δύο σχετικών ασκήσεων. Το άρθρο διαβάζεται εύκολα και από μαθητές. Απαιτεί, ίσως, λίγο παραπάνω συγκέντρωση, θα ωφεληθούν όμως και κάποια από αυτά ίσως τα βρουν μπροστά τους! ΜΕΡΟΣ 1 ο :   Τα βασικά (μαζί με μια εφαρμογή) ΜΕΡΟΣ 2 ο :   ...

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α 1. Στην α.α.τ το πηλίκο της επιτάχυνσης του σώματος προς την απομάκρυνσή του από το κέντρο της ταλάντωσης   είναι, κάθε στιγμή, μέτρο της α.   σταθεράς επαναφοράς β.   γωνιακής συχνότητας γ. (γωνιακής συχνότητας) 2 δ. δύναμης επαναφοράς 2. Για ένα σώμα που εκτελεί α.α.τ η κινητική ενέργεια Κ δίνεται από τη σχέση Κ = Κ ο συν 2 ω t . Η μέγιστη τιμή της δυναμικής   του ενέργειας είναι: α.   Κ ο β.   μηδέν γ.   Κ ο /2 δ. αδύνατο να εκτιμήσουμε. 3.   Η δυναμική   ενέργεια ενός σώματος που ταλαντώνεται είναι συνάρτηση της απομάκρυνσή   του x από την κεντρική θέση της τροχιάς του. Αν λ είναι θετική σταθερά, η κίνησή του θα είναι α.α.τ   όταν: α . U = λ x 2 β . U = - λ x 2 /2 γ . U = k δ. U = λ x Θέμα Β 1. Ένα σώμα εκτελεί α.α.τ πλάτους 4 cm . Σε ποια από τις παρακάτω απομακρύνσεις η ενέργειά του είναι κατά το ένα ήμισυ δυναμική και κατά το άλλο ήμισυ κινητική;     α. 2 cm β. 2 0,5 cm γ. 2 . 2 0,5 cm δ. 3...

Είναι γνωστό ότι στην περίπτωση της ελαστικής κρούσης του διπλανού σχήματος, η κινητική ενέργεια του σώματος Α θα μεταφερθεί, τελικά, μέσω του Β, στο Γ. Υπάρχει άλλη περίπτωση ελαστικής κρούσης τριών σωμάτων, όπου τελικά έχουμε ολική μεταφοράς της κινητικής ενέργειας σε ένα μόνο από αυτά; Η απάντηση είναι, ΝΑΙ, και όχι μόνο μια, αλλά άπειρες. Αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα μάζες και ταχύτητες. Δείτε για παράδειγμα την παρακάτω απλή εφαρμογή. Τρεις τέλεια λείες ελαστικές σφαίρες Α, Β και Γ, με μάζες m A = 2 kg , m B = 4 kg και m Γ = 8 kg , κινούνται κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα τους και προς την ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες μέτρων 4 m / s , 1 m / s και 0,75 m / s , αντίστοιχα, όπως δείχνει το σχήμα. Αν πρώτα συγκρουστεί η σφαίρα Α με τη Β, και στη συνέχεια η Β με τη Γ, τότε:                                α. 0 ≤ v 1 <...

Ένα σώμα Β   σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μάζας 4 m , είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα οριζόντιο σταθερό τραπέζι. Πάνω του τοποθετούμε ένα όμοιων διαστάσεων σώμα Α μάζας 2 m , όπως στο σχήμα. Μεταξύ της βάσης του σώματος Β και του τραπεζιού υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής ολισθήσεως μ. Δεν υπάρχει τριβή μεταξύ των δύο σωμάτων Α και Β. Μια μικρή ελαστική σφαίρα μάζας m κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα v κατά μήκος μιας νοητής ευθείας, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος Β και είναι κάθετη στην κατακόρυφη πλευρά του, συγκρούεται ελαστικά με το σώμα Β, σε ύψος d πάνω από την επιφάνεια του τραπεζιού. Α. Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας v (ας την συμβολίσουμε με υ 0 )   για να ανατραπεί το σώμα Α είναι:                                     α . 5√  6μgd   ,      β.     5 ⁄ 2  √  6μgd    ,     γ . 5√ ...

Δύο σφαιρικές χάντρες Α και Β με μάζες 2 m και m , αντίστοιχα, είναι περασμένες σε ένα κατακόρυφο λείο κυκλικό σύρμα ακτίνας 10 m , κατά μήκος του οποίου μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβές. Η χάντρα Β βρίσκεται ακίνητη στο κατώτερο σημείο του σύρματος, ενώ η χάντρα Α αρχικά συγκρατείται σε μια θέση, που βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ευθεία με το κέντρο του κυκλικού σύρματος. Αν δώσουμε στην Α μια αρχική ταχύτητα ίση με √ 60 m / s προς τα κάτω θα συγκρουστεί με τη Β, η οποία, στη συνέχεια, θα ανέλθει ως το αντιδιαμετρικό σημείο από το οποίο ξεκίνησε η Α. α. Να δείξετε ότι η παραπάνω κρούση δεν είναι ελαστική. β. Να βρείτε το πηλίκο της ταχύτητας, με την οποία οι χάντρες στο τέλος της κρούσης απομακρύνονται η μία από την άλλη, προς την ταχύτητα της μεταξύ τους προσέγγισης ελάχιστα πριν την κρούση. γ. Αν η κρούση ήταν ελαστική ποια θα ήταν η τιμή του παραπάνω πηλίκου; Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g = 9,8 m / s 2 .  Απάντηση:

                                            Θέματα  -  Απαντήσεις

                                            Θέματα   -  Αναλυτικές Απαντήσεις

Απορία μαθητή Μου δόθηκε η εξής ερώτηση: Θεωρείστε δύο λεία σφαιρικά σώματα Σ 1 και Σ 2 με ίσες μάζες. Το Σ 2 είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Σ 1 κινείται πάνω στο επίπεδο αυτό και πλησιάζει το Σ 2 με ταχύτητα υ. Υποθέστε ότι μετά την κρούση τα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 έχουν ταχύτητες υ 1 και υ 2 , αντίστοιχα, οι οποίες είναι συγγραμμικές με την υ και έχουν την ίδια φορά με αυτήν. Να δείξετε ότι υ 1 ≤ υ/2 .      Να πώς σκέφτηκα: Αφού όλες οι ταχύτητες είναι συγγραμμικές και έχουν την ίδια φορά, μπορώ να υποθέσω ότι  υ ≥0, υ 1 ≥0, υ 2 ≥0.     Εφαρμόζω Α.Δ.Ο:                     m υ = m υ 1 + m υ 2                                                         →    υ = υ 1 + υ 2         ...

Ένα λείο επίπεδο στρογγυλό πλακάκι κινείται πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και προσπίπτει με ταχύτητα υ σε ένα σύνολο από τρία ίδια τετράγωνα λεία πλακάκια, που βρίσκονται ακίνητα πάνω στο επίπεδο, τοποθετημένα το ένα δίπλα στο άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα. Και τα τέσσερα πλακάκια, το στρογγυλό και τα τρία τετράγωνα, έχουν ίσες μάζες και ίδιο ύψος και η διάμετρος του στρογγυλού είναι ίση με το μήκος της πλευράς κάθε τετράγωνου. α) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων στη διάρκεια της κρούσης. β) Να προσδιορίσετε την ταχύτητα που θα έχει κάθε πλακάκι μετά την κρούση, αν αυτή θεωρηθεί ελαστική. (Πηγή:  SS   Krotov ,  problems   In   Physics   – διασκευή και απόδοση προσαρμοσμένη στις απαιτήσεις των Πανελληνίων: Τάσος Τζανόπουλος).  Απάντηση:

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες Α και Β με μάζες 3 m και m , αντίστοιχα, ηρεμούν αρχικά μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Τη στιγμή t = 0 δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γραμμική ταχύτητα υ και μετά από χρόνο t 0 = 2 sec συγκρούεται  για 1 η φορά, κεντρικά, με τη σφαίρα Β. Να βρείτε: α. Ποια χρονική στιγμή και σε ποια θέση οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν για 2 η φορά. β. Με ποιες ταχύτητες θα κινηθούν οι σφαίρες μετά τη 2 η κρούση;  Απάντηση:

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες ηρεμούν, αρχικά, μέσα σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Δίνουμε μια ώθηση στη σφαίρα Α, η οποία αρχίζει να κυλά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, και μετά από χρόνο t 0 συγκρούεται κεντρικά με τη σφαίρα Β. Μετά την κρούση οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν έπειτα από χρόνο: α. t 0 αν m A > m B , και 2 t 0 αν m A < m B β. 2 t 0 αν m A > m B , και t 0 αν m A < m B γ. 2 t 0 , όποια κι αν είναι η σχέση των μαζών.  Απάντηση:

Δύο μικρές λείες ελαστικές σφαίρες τοποθετούνται σε ένα οριζόντιο λείο κυκλικό αυλάκι, σε θέσεις αντιδιαμετρικές. Σπρώχνουμε τις δύο σφαίρες να κινηθούν αντίθετα με ταχύτητες υ Α και υ Β , αντίστοιχα. Οι δύο σφαίρες κινούνται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και μετά από χρόνο t 0 συγκρούονται κεντρικά. α. Σε πόσο χρόνο οι δύο σφαίρες θα ξανασυγκρουστούν; β. Ποιες είναι οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά τη δεύτερη κρούση;  Απάντηση: