Physics problems for exams at Greek universities

Αν νομίζετε ότι στις κρούσεις με σύστημα οριζόντιο ελατήριο – σώμα τα πράγματα είναι πιο απλά … ίσως πρέπει να το ξανασκεφτείτε! 1η : ΔΥΟ «ΦΟΡΤΩΜΕΝΟΙ ΜΕ ΒΑΡΗ» ΑΠΛΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΚΑΙ ΣΥΓΚΡΟΥΟΝΤΑΙ Αρχικά, τα κάτω άκρα των σχοινιών είναι ελεύθερα χωρίς βάρη και τα σώματα Σ 1 και Σ 2 ισορροπούν ευρισκόμενα σε επαφή στη θέση Φ πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στην κατάσταση αυτή τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Κρεμάμε στα ελεύθερα άκρα των σχοινιών σώματα με μάζες ίσες με των σωμάτων που είναι δεμένα στο άλλο άκρο τους και τα αφήνουμε σιγά - σιγά ώσπου όλα τα σώματα να ισορροπήσουν στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα.     Κάποια στιγμή κόβουμε ταυτόχρονα και τα δύο σχοινιά. Α. Να βρείτε σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν τα Σ 1 και Σ 2 . Β. Να δείξετε ότι στην παραπάνω θέση καθένα από τα σώματα Σ 1 και Σ 2 έχει (μια στιγμή αμέσως πριν την κρούση) ταχύτητα ίση με 2/π φορές την ταχύτητα που έχουν την ίδια στιγμή τα σώματα...

Σύστημα “οριζόντιο ελατήριο – Μάζα” και ανελαστική κρούση                     2 η :   ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΗ Θ.Ι ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΚΡΟΥΣΗ ΣΤΗΝ ΑΚΡΑΙΑ ΘΕΣΗ                            Στην ταυτόχρονη κίνηση δύο κινητών που καταλήγει σε συνάντηση, αξιοποιούμε δύο σχέσεις:  Της ισότητας των χρόνων κίνησης και Τη σχέση των διανυθέντων διαστημάτων . Τα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 έχουν μάζες 2 m και m , αντίστοιχα. Αρχικά το Σ 2 ισορροπεί στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, όπως στο σχήμα, ενώ το Σ 1 κινείται προς αυτό κατά μήκος της προέκτασης του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ 1 = 10 m / s . Κάποια στιγμή τα δύο σώματα συγκρούονται. Τριβές δεν υπάρχουν. Α. Αν μετά την κρούση οι ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι τέτοιες ώστε να ξανασυγκρουστούν στη θέση μέγιστης συμπίεσης του ελατηρίου, να βρείτε τα μέτρα τους. Β. Αν μεταξύ 1 ης και 2 ης κρούσης μεσολαβεί χρόνος (π/20...

Σύστημα “οριζόντιο ελατήριο – Μάζα” και ανελαστική κρούση                      3 η:  ΣΥΓΚΡΟΥΣΗ – ΜΕΓΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ                                               Παρακολουθείστε τη συζήτηση δύο μαθητών στην προσπάθειά τους να λύσουν ένα πρόβλημα φυσικής. Ο ακροατής, εν προκειμένω ο αναγνώστης, έχει τη ευκαιρία να παρακολουθήσει και τις σκέψεις των μαθητών που δεν μπορούν να καταγραφούν σε μια επίσημη λύση .  Να γνωρίσει δηλαδή πώς αντιπαρέρχονται μια λάθος σκέψη, πώς ο ένας διορθώνει ή συμπληρώνει τον άλλον, τον τρόπο που ανταλλάσσουν τις εμπειρίες τους, τα κόλπα που χρησιμοποιεί ο ένας ή ο άλλος, πώς θα προτιμούσαν να είναι η άσκηση, τι δεν τους αρέσει στην εκφώνηση, πώς ο «δυνατός» μαθητής βοηθάει τον «αδύνατο» κ.λπ.  Έχει ενδιαφέρον. Απολαύστε τους! Στις ανελαστικές κρούσεις, μετά την εφαρμογή Α.Δ.Ο και...

Ήμουν μαθητής  στην πρώτη τάξη Λυκείου όταν ο καθηγητής μας της Άλγεβρας  μας έθεσε το ερώτημα: «Δύο κινητά εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση κινούμενα δεξιόστροφα πάνω στην ίδια περιφέρεια κύκλου με περιόδους Τ 1 = 2,5 min και T 2 =  6 min , αντίστοιχα. Σε πόσο χρόνο μετά από μια συνάντησή τους θα ξανασυναντηθούν στο ίδιο σημείο;»  Θυμάμαι ότι δυσκολευτήκαμε.  Ήταν η πρώτη φορά που ανακαλύπταμε τη χρησιμότητα της ελάχιστης ακέραιας αναλογίας . Έχω, λοιπόν, ένα απωθημένο, με βάση το οποίο διαμορφώθηκε το ερώτημα Γ στην άσκηση που ακολουθεί. Τα δύο σώματα Σ 1 και Σ 2 με μάζες M = 6 kgr και m = 1 kgr , αντίστοιχα, ισορροπούν δεμένα  μεταξύ τους με ένα τεντωμένο κατακόρυφο αβαρές σχοινί. Το καθένα είναι στερεωμένο στο άκρο ενός ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές σκληρότητας k 1 = 150 N / m και k 2 = 100 N / m ,  και οι θέσεις ισορροπίας των κέντρων των δύο σωμάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια κατακόρυφο. Το πάνω ελατήριο ε...

ΙΙ. Γενική περίπτωση   Το σώμα Σ ισορροπεί αρχικά στη θέση I που φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος. Κάποια στιγμή ( t = 0) εφαρμόζουμε πάνω του μια κατακόρυφη προς τα πάνω δύναμη F, όπως στο σχήμα. Το μέτρο της δύναμης  μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: F = (10/3) y +10 (το F σε N και το y σε m), όπου y η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας Ι. Τ o σώμα αρχίζει να ανεβαίνει. Α. Να δείξετε ότι υπάρχει μια θέση I ΄, ψηλότερα από τη Ι, όπου η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, συμπεριλαμβανομένης και της F , είναι μηδέν και ότι η θέση αυτή είναι το κέντρο μιας α.α.τ. που θα εκτελέσει το σώμα. Β. Ποια χρονική στιγμή το σώμα θα αποκτήσει για πρώτη φορά μέγιστη κινητική ενέργεια και πόση είναι αυτή; Γ. Κάποια στιγμή διακόπτουμε την εφαρμογή της F . Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει στη συνέχεια το σώμα Σ αν η δύναμη F πάψει να εφαρμόζεται τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από: i . T ην πάνω ακραία θέση του ii . Τη...

Όπως φαίνεται στο σχήμα, δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k 1 = 40 N / m και k 2 = 50 N / m , έχουν το ένα άκρο τους στερεωμένο σε ακλόνητο στήριγμα και το άλλο άκρο τους προσδεμένο σ’ ένα σώμα Σ μάζας m = 0,1 kgr , που είναι φορτισμένο με ηλεκτρικό φορτίο + q . Οι άξονες των ελατηρίων συμπίπτουν. Όταν το σώμα ισορροπεί, το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Α. Να αποδείξετε ότι η κίνηση που θα εκτελέσει το σώμα, αν το εκτρέψουμε κατακόρυφα από τη θέση ισορροπίας του κι έπειτα το αφήσουμε ελεύθερο, είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. Β. Αποσυνδέουμε το κάτω ελατήριο από το σώμα. Έτσι όταν το σώμα ισορροπεί, το πάνω άκρο του ελατηρίου αυτού απλώς ακουμπά στο σώμα. Στη συνέχεια ανεβάζουμε κατακόρυφα το σώμα κατά 0,025 m , προκαλώντας μια αντίστοιχη μείωση μήκους στο πάνω ελατήριο. Τη στιγμή t = 0 sec αφήνουμε το σώμα. Β1. Να εξηγείστε γιατί η κίνηση που θα κάνει το σώμα δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την απόσταση των δύο ακρ...

Περισσότερα : Η Άσκηση σε PDF Οι Απαντήσεις  H Λύση Μια παρόμοια Άσκηση

Διαγράμματα και συναρτήσεις   U ελ – x ,    U ελ – t , σε σύστημα κατακόρυφο ελατήριο – μάζα δυσκολεύουν τους μαθητές. Γι αυτό σκέφτηκα τα τρία πρώτα μέρη της τελευταίας, σχετικής με το θέμα εργασίας,  να τα συνοδεύσω με ένα τέταρτο μέρος που να περιλαμβάνει δύο εφαρμογές. Είναι δύο ασκήσεις με δυσκολία λίγο πάνω του μετρίου, που η λύση τους θα ωφελήσει, κατά τη γνώμη μου, πολύ τους αγαπητούς μαθητές μας. Αργότερα, θα ακολουθήσουν ασκήσεις όπου θα ζητούνται οι συναρτήσεις F ελ – x ,    F ελ – t 1.  Όλες οι δυναμικές ενέργειες μαζί Ένα σώμα μάζας m = 2 kgr είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου του οποίου το πάνω άκρο συγκρατείται από ακλόνητο στήριγμα. Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι μια θέση Β πάνω από τη θέση ισορροπίας του και κάποια στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο. Έτσι αρχίζει να εκτελεί α.α.τ., στη διάρκεια της οποίας η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, U ελ , μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών 0 και 4 J , ενώ η παραμόρφωσή του μεταξύ ...

2.   Από την παραμόρφωση ελατηρίου στην απομάκρυνση ταλάντωσης κι αντίστροφα. Μια άσκηση για εξάσκηση. Το κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σε οριζόντιο βάθρο ενώ στο πάνω άκρο του είναι δεμένο ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με θετική φορά προς τα πάνω. Στο διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια ελαστικότητας του ελατηρίου σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Α. Να βρείτε τη σταθερά του ελατηρίου και την περίοδο της ταλάντωσης. Β. Με τι ρυθμό μεταβάλλεται η δυναμική ε­νέργεια, λόγω παραμόρφωσης, του ελατηρίου τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινού­μενο προς τα θετικά; Γ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με τη μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος και αυξάνεται, ποια είναι η σχέση της παραμόρφωσης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο;  Δίνεται: g = 10 m / sec 2 . Η Άσκηση σε PDF Η Απάντηση Η προτεινόμενη Λύση

Για τη διάταξη του σχήματος δίνονται τα ακόλουθα στοιχεία: Το σώμα Σ έχει μάζα m και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. T α δύο ελατήρια είναι όμοια, έχουν σταθερά k και όταν το Σ είναι στη θέση ισορροπίας, θέση Ι, έχουν το φυσικό μήκος τους. Α) Να αποδείξετε ότι, αν το Σ εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο, θα εκτελέσει κίνηση που είναι α.α.τ. και να υπολογίσετε την περίοδό της. Β) Εκτρέπουμε το Σ κατά α από τη θέση ισορροπίας και …   Δείτε: Ολόκληρη την άσκηση. Τη λύση της.

Το σώμα Σ του σχήματος, μάζας m = 0,5 kgr , είναι στερεωμένο σε δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k 1 = 100 Ν/ m το πάνω και k 2 = 50 Ν/ m το κάτω. Όταν το σώμα ηρεμεί, το κάτω ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Οι άξονες των ελατηρίων συμπίπτουν. Κάποια στιγμή, ωθούμε το σώμα έτσι ώστε να ξεκινήσει από τη θέση ισορροπίας του με αρχική ταχύτητα υ 0 = 2 m / s προς τα κάτω. Α) Να δείξετε ότι …   Δείτε: Ολόκληρη την άσκηση Την απάντηση

Πώς μια άσκηση του σχολικού βιβλίου  μπορεί να δημιουργήσει … προβλήματα. Τα δύο ελατήρια συγκρατούν το σώμα Σ,  το οποίο ισορροπεί στη θέση Ι. Στη θέση αυτή το αριστερό ελατήριο είναι τεντωμένο κατά Ρ I = 0,1 m . Μετατοπίζουμε το σώμα μέχρι τη θέση Δ όπου το δεξί ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του και από τη θέση αυτή ... Δείτε: Ολόκληρη την άσκηση Την αναλυτική απάντηση

   ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ   x - t . ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ “ΕΡΓΑΛΕΙΟ” (Για λόγους απλότητας, προκειμένου να καταδειχτούν τα πολλά κοινά σημεία που έχει η περίπτωση αυτή με την περίπτωση της προηγούμενης ανάρτησης, θα προσεγγίσουμε και αυτό το θέμα  με τον ίδιο τρόπο ανάλυσης). Και σε αυτήν την περίπτωση, επειδή το βάρος του συσσωματώματος είναι μεγαλύτερο από αυτό του ενός σώματος, η θέση ισορροπίας ( Ι΄)  της ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι χαμηλότερα από τη θέση ισορροπίας (Ι) του σώματος που αρχικά ισορροπεί μόνο του στο ελατήριο. Επίσης κι εδώ, η απόσταση ΙΊ αντιστοιχεί στην αρχική απομάκρυνση της ταλάντωσης. Και εδώ, αν θεωρήσουμε πάλι την προς τα πάνω φορά θετική, η ταλάντωση αρχίζει από μια θέση ,τη Ι, με θετική απομάκρυνση (ίση με ΙΊ ). Όμως τώρα η αρχική ταχύτητα είναι θετική (προς τα πάνω)  κι όχι αρνητική όπως πριν. Αυτό σημαίνει ότι, η αρχική φάση της ταλάντωσης θα περιορίζεται ανάμεσα στις τιμές 0 και π/2. Αν βάλλουμε πάλι έναν από τ...

ΜΕΡΟΣ 1ο Σε αυτές τις περιπτώσεις, ως γνωστόν, η θέση ισορροπίας ( Ι΄)  της ταλάντωσης του συσσωματώματος  είναι χαμηλότερα από τη θέση ισορροπίας (Ι) του σώματος που αρχικά ισορροπεί μόνο του στο ελατήριο. Επιπλέον, η απόσταση ΙΊ αντιστοιχεί στην αρχική απομάκρυνση x αρχ της ταλάντωσης. Έτσι, αν θεωρήσουμε την προς τα πάνω φορά θετική, στη θέση Ι, από την οποία αρχίζει την ταλάντωσή του το συσσωμάτωμα, αντιστοιχεί θετική απομάκρυνση x αρχ (ίση με ΙΊ ) κι αρνητική ταχύτητα (προς τα κάτω). Αυτό σημαίνει ότι, η αρχική φάση της ταλάντωσης θα περιορίζεται ανάμεσα στις τιμές π/2 και π. Συνέχεια ...                                                                 ...

  Ένα ελατήριο, σταθεράς k = 100 N / m , είναι στερεωμένο στο κάτω άκρο του με τον άξονά του κατακόρυφο. Στο πάνω άκρο του βρίσκεται στερεωμένος ένας αβαρής οριζόντιος δίσκος και πάνω σ’ αυτόν είναι τοποθετημένο ένα σώμα μάζας m = 1,6 kgr , χωρίς να είναι στερεωμένο με το δίσκο. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Από ύψος h = 20 c m, πάνω από το σώμα που στηρίζεται στο δίσκο, αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα ένα δεύτερο σώμα μάζας ίσης με το πρώτο, το οποίο συγκρούεται πλαστικά με αυτό και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται αρχίζει να κάνει   α.α.τ. α) Να βρείτε την ενέργεια και το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) Αν το ύψος είναι μεγαλύτερο κάποιου h o , το συσσωμάτωμα σε κάποια θέση αποσπάται από τον αβαρή δίσκο. Ποια είναι η θέση αυτή; γ) Υπολογίστε το h o , ώστε το συσσωμάτωμα να συνεχίσει να εκτελεί την α.α.τ. Δίνεται ότι g = 10 m / sec 2 . Απ. α) 2,88 J ,   β) Α = 24 cm , γ) 32 cm πάνω από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, δηλαδή στη θέσ...