Physics problems for exams at Greek universities

  Ένας μαθητής, μου έστειλε το παρακάτω πρόβλημα που τους έδωσε ο καθηγητής τους: «Οι δύο οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι 1 και 2 μπορούν να περιστρέφονται, ο καθένας, γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα κάθετο στην επιφάνειά τους, που διέρχεται από το κέντρο τους, χωρίς τριβές. Οι ροπές αδράνειάς τους ως προς τον άξονα περιστροφής τους είναι Ι 1 και Ι 2 , αντίστοιχα, και οι ακτίνες τους r 1 και r 2 . Αρχικά ο δίσκος 1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 0 , ενώ ο 2 είναι ακίνητος. Χωρίς να αλλάξουμε τον προσανατολισμό των αξόνων τους, πλησιάζουμε τους δύο δίσκους και τους φέρνουμε σε επαφή. Οι περιφέρειες των δύο δίσκων   γλιστρούν αρχικά η μια ως προς την άλλη, αλλά τελικά η ολίσθηση αυτή σταματά, λόγω της μεταξύ τους τριβής. Να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω 1 του δίσκου 1 ».   Μου γράφει: « Σκέφτηκα πως δεν μπορώ να πάρω Α.Δ.Μ.Ε για το σύστημα, γιατί οι τριβές μεταξύ των δύο δίσκων θα μετατρέψουν μέρος της κινητικής ενέργειας του δίσκου 1 σε θερμότητα. Γνω...

Το κέντρο μάζας του παιδιού, με λυγισμένα τα γόνατα, βρίσκεται σε απόσταση ΟΒ από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία (θέση 1), και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του (θέση 3) το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄. Να επιλέξετε το σωστό σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Ι. Το μέτρο της στροφορμής του παιδιού, γύρω από το Ο, κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄,                α. Αυξάνεται,     β. Παραμένει σταθερό,        γ. Ελαττώνεται ΙΙ. Αν Ρ Α και Ρ Α ΄ είναι τα μέτρα της ορμής του παιδιού όταν το κέντρο μάζας του βρίσκεται, αντίστοιχα, στα σημεία Α και Α΄, τότε:           ...

                               Έστω ότι το κέντρο μάζας (σημείο  B ) ενός παιδιού, που κάθεται πατώντας με λυγισμένα τα γόνατα σε μια ελαφριά κούνια, βρίσκεται σε ύψος 1,2  m  πάνω από το έδαφος. Το βάρος του παιδιού είναι 400 Ν και το κέντρο μάζας του, με λυγισμένα τα γόνατα, απέχει 3,7  m  από τον άξονα περιστροφής της κούνιας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο. Η κούνια μαζί με το παιδί αφήνονται από την ηρεμία, και όταν το κέντρο μάζας φτάσει στο χαμηλότερο σημείο Α της τροχιάς του το παιδί σηκώνεται ξαφνικά όρθιο, ανεβάζοντας έτσι το κέντρο μάζας του από τη θέση Α στην θέση Α΄, κατά 0,6  m   ψηλότερα. Να βρείτε: α.  Τη μεταβολή της στροφορμής του παιδιού κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄. β.  Τη μεταβολή της ορμής του παιδιού κατά την άνοδο του κέντρου μάζας του από το Α στο Α΄. γ.  Το ύψος του κέντρου μάζας του παιδιού, τη στιγμή που...

  Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz ΄. Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg , φέρει οπή κατά μήκος   του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ. Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ = 3/8 m από το Β. α. Να βρείτε τη στροφορμή του σώματος Σ ως προς τον άξονα zz ΄. Δίνεται συνθ = 0,6. β. Διπλασιάζουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ θα σταθεροποιηθεί σε μια θέση,   όπου η κινητική του ενέργεια είναι τέσσερις φορές μικρότερη από την αρχική. Οι διαστάσεις   το κυλινδρικού σώματος να θεωρηθούν αμελητέες. Απάντηση:

Ένα παιδικό παιχνίδι αποτελείται από την τραπεζοειδή σφήνα του σχήματος, η οποία περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξονα zz ΄. Το κυλινδρικό σώμα Σ, μάζας m = 0,18 kg , φέρει οπή κατά μήκος   του άξονά του και μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω στη λεπτή ράβδο ΑΒ. Όταν η σφήνα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, το σώμα ισορροπεί σε απόσταση ℓ από το Β και η στροφορμή του ως προς τον άξονα zz ΄ έχει τιμή L . Αν το σύστημα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω΄= 2ω, τότε το σώμα ισορροπεί σε μια θέση όπου: Ι. Η απόστασή του ℓ΄ από το Β είναι:                             α. ℓ΄= 2ℓ,                 β. ℓ΄ =   ℓ,                γ.   ℓ΄ =   ℓ/4 ΙΙ. Η στροφορμή του L...

Δύο παρόμοιοι ξύλινοι κύβοι, βάρους w = 15 N , υποστηρίζονται από μια αβαρή ράβδο με κλίση 45 ο ως προς το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν και οι δύο κύβοι βρίσκονται σε κατάσταση οριακής ισορροπίας* και ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής (μ w ) μεταξύ του κύβου Β και το τοίχου είναι 0,5, τότε: α. Να βρείτε τον συντελεστή οριακής στατικής τριβής (μ g ) μεταξύ του κύβου Α και του δαπέδου. β. Αν ο τοίχος είναι λείος (μ w = 0 ), πόσος πρέπει να είναι ο συντελεστής μ g οριακής στατικής τριβής με το έδαφος, ώστε το σύστημα να ισορροπεί οριακά με την ίδια κλίση της ράβδου; Γ. Να εξηγήσετε αν είναι δυνατό να έχουμε ισορροπία του παραπάνω συστήματος με το δάπεδο λείο (μ g = 0 ) και τον τοίχο τραχύ (μ w > 0 ).  *(Είναι έτοιμα να γλιστρήσουν) Απάντηση:

Ο ανοικτός και στις δύο βάσεις   του κατακόρυφος κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος, σταθερής διατομής Α, συγκρατείται ημιβυθισμένος σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α). Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα. Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα, να δείξετε ότι: α. Υπάρχει θέση, όπου η ταχύτητα του σώματος Σ γίνεται μέγιστη και να βρείτε την απόστασή της από την αρχική του θέση.   β. Το σώμα Σ θα κάνει αρμονική ταλάντωση και να προσδιορίσετε τη μέγιστη ταχύτητά του. Τα μεγέθη: διατομή Α του σωλήνα, πυκνότητα ρ του νερού, μάζα m του σώματος και επιτάχυνση βαρύτητας g , θεωρούνται γνωστά. Απόδειξη:

Αναφερόμαστε στην   προηγούμενη άσκηση , με τη διαφορά ότι τώρα το κάτω ανοικτό άκρο του κατακόρυφου σωλήνα συγκρατείται ημιβυθισμένο σε μια δεξαμενή μεγάλης επιφάνειας, γεμάτη με νερό. Αρχικά το σύστημα “σώμα Σ – έμβολο” ισορροπεί όπως στο σχήμα (α). Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ, το έμβολο ανέρχεται και νερό εισχωρεί στον σωλήνα. Αν δεν υπάρχουν απώλειες λόγω τριβών και αν η μάζα του εμβόλου είναι αμελητέα σε σχέση με τη μάζα m του σώματος Σ, τότε το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το νερό στο σωλήνα, μετρούμενο από την επιφάνεια του νερού της δεξαμενής, είναι:                           α.   m ⁄ ρA                   β.   2m ⁄ ρA             γ.    m ⁄ 2ρΑ Όπου ρ η πυκνότητα του νερού, Α η διατομή του σωλήνα και m η μάζα του σώματος Σ.  Απάντηση:

Το έμβολο του σχήματος εφαρμόζει αεροστεγώς στα εσωτερικά τοιχώματα ενός κατακόρυφου κυλινδρικού σωλήνα, που είναι ανοικτός και στα δύο του άκρα και μπορεί να κινείται μέσα σε αυτόν χωρίς τριβές. Στην αρχή ισορροπεί στη θέση που φαίνεται στο σχήμα (α), με τη βοήθεια ενός σχοινιού στην άλλη άκρη του οποίου έχουμε κρεμάσει ένα σώμα Σ μάζας m . Αρχικά συγκρατούμε το σώμα για να μην κινηθεί προς τα κάτω. Ο σωλήνας είναι ημιβυθισμένος μέσα σε ένα δοχείο που περιέχει νερό όγκου 2 L . Αφήνουμε σιγά – σιγά το σώμα Σ να κατέβει, με αποτέλεσμα το έμβολο να ανέβει και να εισέλθει νερό μέσα στο σωλήνα. Στο σχήμα (β) το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Το νερό που βρίσκεται στο σωλήνα, πάνω από την ελεύθερη στάθμη του νερού του δοχείου και μέχρι το ύψος h έχει όγκο 1 L . Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg / m 3 . Αν η μάζα του εμβόλου και του σχοινιού είναι αμελητέες και τριβές στις βοηθητικές τροχαλίες δεν υπάρχουν, τότε η   μάζα m του σώματος Σ είναι:     ...