Επαγωγικό ρεύμα σε κυκλικό αγώγιμο βρόχο

"Το επαγωγικό ρεύμα σε κυκλικό αγώγιμο βρόχο, εντός ομαλά μεταβαλλόμενου Μ.Π., εξαρτάται μόνο από τη μάζα και από τη φύση του υλικού του"

Τα δύο χάλκινα δακτυλίδια στα σχήματα α και β, με διαφορετικές διαμέτρους D₁ και D₂ και διαφορετικές διατομές Α₁και Α₂, έχουν ίδια μάζα m. Το καθένα βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο με την επιφάνειά του κάθετη προς τις δυναμικές του γραμμές. Αν η ένταση κάθε μαγνητικού πεδίου μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό έτσι ώστε dB₁/dt = dB₂/dt = λ, σε ποιο δακτυλίδι αναπτύσσεται μεγαλύτερο επαγωγικό ρεύμα;

Δίνεται ότι η ωμική αντίσταση ενός ομογενούς αγωγού σταθερής διατομής παρέχεται από τη σχέση R = ρℓ/Α, όπου ρ η ειδική αντίστασή του, ℓ το μήκος του και Α η διατομή του.

Απάντηση:

Από το νόμο του Faraday ισχύει:

                        Ε_επ = -dΦ/dt = - d(BS)/dt = -S·dB/dt → Ε_επ = -S·λ     (1)

Το ρεύμα που διαρρέει κάθε δακτυλίδι είναι i_επ = E_επ/R  και λόγω της (1)

                                                     i_επ = - S·λ /R                                         (2)

 Όμως ισχύουν:   S= πD²/4   (3),   R= ρℓ/A  (4),   m = dV = dAℓ  (5),   ℓ = πD  (6)

H (3) στη (2) δίνει:                  i_επ = - πD²λ /4R                                   (3→2)

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη την (4) με την (5) και στο γινόμενο κάνουμε χρήση της (6)

                                  Rm = ρdℓ² ή R= ρdℓ²/m   ή   R = ρdπ²D²/m       (4x5, 6)

Και τέλος θέτουμε στην (3→2) την τιμή του R, που βρήκαμε στην τελευταία σχέση,

               i_επ = - (πD²λ) / (4 ρdπ²D²/m)    ή    i_επ = - λm / 4πρd  

Παρατηρούμε κάτι άξιο προσοχής: 

το επαγόμενο ρεύμαείναι ίδιοστους δύο διαφορετικών διαστάσεωνκυκλικούς βρόχους, γιατί έχουντην ίδιαμάζα και αποτελούνται από το ίδιουλικό.

Το πρόσημο (-) δηλώνει ότι το προκύπτον επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά ώστε το μαγνητικό του πεδίο να αντιτίθεται στη μεταβολή του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Έτσι αν το Β αυξάνει (με θετική φορά προς το εσωτερικό της σελίδας μας) το i_επ έχει αριστερόστροφη φορά.

Εφαρμογή: m= 0,175 kg,  λ = 10^-3πΤ/s,  ρ = 1,75·10^-8Ω·m και πυκνότητα d = 9 g/cm³.

                       Άρα:      i_επ = -10^-3π·0,175/4π·1,75·10^-8·9000 = 0,28 Α