Physics problems for exams at Greek universities

K ατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, που η διεύθυνσή του ταυτίζεται με τον άξονα x ΄ x , έχει αναπτυχθεί ένα αρμονικό κύμα πλάτους Α. Θεωρούμε τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Ο του ελαστικού μέσου ως αρχή των αξόνων x ΄ x και ψ΄ψ κι αρχίζουμε να μετράμε το χρόνο από κάποια στιγμή που το σημείο αυτό βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση του. Έτσι, τη στιγμή t = 0, στην αρχή αξόνων βρίσκεται η κορυφή που δείχνεται με το κατακόρυφο βέλος. α) Αν η ταχύτητα με την οποία μετακινείται η κορυφή αυτή είναι υ = 1 m / sec και αν η μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Ο είναι 0,8π 2 m / sec 2 , να βρείτε την εξίσωση του κύματος. β) Σε ποια θέση βρίσκεται η παραπάνω κορυφή τη στιγμή που το σημείο Ο διέρχεται για έκτη φορά από τη θέση ισορροπίας του;  (Τα παραπάνω στιγμιότυπα, για λόγους απλότητος, έχουν σχεδιαστεί σε ένα ορισμένο τμήμα του ελαστικού μέσου).  Απάντηση:

Δίνεται ο απλός αρμονικός ταλαντωτής του σχήματος: ένα σώμα Σ μάζας m , που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, και ένα ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k = 100 Ν/ m , που η μια του άκρη είναι δεμένη στο σώμα και η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη ακλόνητα. Το σώμα Σ κινείται μεταξύ των θέσεων Α και Β με πλάτος Α. Από ύψος h αφήνουμε να πέσει ένα κομμάτι πλαστελίνης μάζας m , το οποίο προσκολλάται στο σώμα που ταλαντώνεται. I . Σε ποια από τις παρακάτω θέσεις πρέπει να γίνει η κρούση ώστε η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος να είναι η μέγιστη δυνατή; α. Σε μια ακραία θέση,     β. Στη θέση ισορροπίας Ο,       γ. Σε καμιά· η απώλεια μηχανικής ενέργειας είναι ίδια σε οποιαδήποτε θέση γίνει η κρούση. ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης να θεωρηθεί αμελητέα.  Απάντηση: 

Ένα σώμα Σ μάζας m ισορροπεί δεμένο ανάμεσα σε δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k 1 και k 2 , όπως στο σχήμα. Αν κόψουμε το πάνω ελατήριο, το σώμα αρχίζει να κινείται με επιτάχυνση μέτρου α 2,αρχ = 6 m / s 2 και εκτελεί μια α.α.τ. πλάτους Α 2 . Ι. Αν κόψουμε το κάτω ελατήριο αρχίζει να κινείται με αρχική επιτάχυνση α 1,αρχ που έχει μέτρο:                                                    α. 2 m / s 2 ,    β. 4 m / s 2 ,    γ. 6 m / s 2 ΙΙ. Αν είναι k 2 = 2 k 1 και το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο κάτω ελατήριο) είναι Α 2 = 6 cm , τότε το πλάτος Α 1 της δεύτερης ταλάντωσης (που θα κάνει στερεωμένο στο πάνω ελατήριο) είναι:                                           ...

1.   {Κ} = {Ρ} --->  υ = ; Μου δόθηκε η ερώτηση «Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός σώματος ώστε η κινητική του ενέργεια και η ορμή του να έχουν ίδια αριθμητική τιμή;» Και απάντησα ως εξής:  1 ⁄ 2 m  υ·υ =   m υ   →    υ = 2 m/s Όμως ο καθηγητής, στις οδηγίες που μας έδωσε, μας είπε να προσέξουμε, γιατί η σωστή λύση δεν περιλαμβάνει μόνο μια τιμή της ταχύτητας. Δεν μπορώ να βρω πού κάνω λάθος. Θα ήθελα να με διαφωτίσετε. Απάντηση: Το λάθος σου είναι προφανές. Εύκολα θα το έβρισκες αν σε ρωτούσα «ποιες είναι οι μονάδες ταχύτητας;»  Ναι. Αυθαίρετα έχεις επιλέξει τη μονάδα m / s …   Όμως, η ερώτηση δεν μας περιορίζει στη χρήση μονάδων του Διεθνούς Συστήματος. Αρκεί η μονάδα μάζας και η μονάδα ταχύτητας που έχουμε επιλέξει για την κινητική ενέργεια και την ορμή στην παραπάνω ισότητα να είναι ίδιες. Έτσι η ταχύτητα μπορεί να είναι και 2 km / h (= 0,56 m / s ), ή 2 mm / min (= 3,33 · 10 -5 m / s ), ή 2 έτη φωτός/αιώνα =(3 · ...

2. Με προβλημάτισε η λύση της παρακάτω άσκησης:   «Ένας σκιέρ μάζας Μ, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε μια παγωμένη οριζόντια επιφάνεια κρατώντας μια μπάλα μάζας m . Κάποια στιγμή πετά οριζόντια τη μπάλα με ταχύτητα υ προς ένα κατακόρυφο τοίχο. Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο, αναπηδά και επιστρέφει στην αγκαλιά του σκιέρ. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του σκιέρ, αν αγνοήσουμε το πεδίο βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα;» Η απάντηση στο βιβλίο είναι η εξής: Εφαρμόζοντας δύο φορές την Α.Δ.Ο θα βρούμε την ταχύτητα του σκιέρ αμέσως μετά το πιάσιμο της μπάλας. Όταν πετάει την μπάλα προς τον τοίχο,                                                                Μυ 1 = m υ...

3.  Ποιος από τους δυο μας κάνει λάθος; Για εργασία στο σπίτι ο καθηγητής μας, μας έδωσε την εξής άσκηση: Έστω ότι ένα υποθετικό τρένο μάζας m = 2 kg , φορτωμένο με ένα βαρύ σώμα μάζας Μ = 48 kg , κινείται ελεύθερα χωρίς τριβές με ταχύτητα υ = 1 m / s πάνω σε μια ευθύγραμμη σιδηρογραμμή. Ξαφνικά το σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς την πορεία του τρένου με ταχύτητα 0,5 m / s . Η σιδηρογραμμή είναι αρκετά σταθερή και το άδειο τρένο συνεχίζει το ταξίδι του. Ποια είναι η τελική ταχύτητα του τρένου μετά την εκτόξευση του σώματος; Η λύση μου έχει ως εξής. Επειδή δεν ασκείται κάποια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης του τρένου, η ορμή του συστήματος (τρένο – φορτίο) κατά τη διεύθυνση αυτή διατηρείται,                                                             (Μ+m)υ = mυ΄         (1)         ...

4 .   Παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής στο παρακάτω παράδειγμα;  Θεωρείστε μέσα σε ένα ακίνητο βαγόνι τρένου δύο ελαστικές μπάλες Α και Β, που κινούνται οριζόντια με αντίθετες ορμές Ρ και -Ρ, αντίστοιχα. Κάποια στιγμή, η μπάλα Β που έχει ορμή -Ρ συγκρούεται  ελαστικά με το κατακόρυφο  τοίχωμα του βαγονιού και επιστρέφει με ορμή Ρ.  Πριν την κρούση η συνολική ορμή ήταν Ρ + (-Ρ) = 0, μετά είναι Ρ + Ρ = 2Ρ. Δεν παραβιάζει αυτό την Αρχή διατήρησης της ορμής; Απάντηση: Έστω -υ η ταχύτητα της μπάλας Β πριν την κρούση. Μετά την κρούση, η αλγεβρική τιμή υ΄ της ταχύτητάς της παρέχεται από τη γνωστή σχέση:                        υ΄= [( m - M ) /( m + M )](-υ )   ή   υ΄=   [( m / M -1) /( m / M +1)](-υ)        (1)     Αφού η μπάλα Β επιστρέφει με ορμή Ρ, αντίθετη της αρχικής, πρέπει η μάζα του βαγονιο...